[分析] Bolzano–Weierstrass theorem的證明

看板Math作者 (高能兒)時間9年前 (2016/08/01 00:25), 9年前編輯推噓10(10推 0噓 18→)
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https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E2%80%93Weierstrass_theorem 我想問的是維基百科Alternative proof的倒數第二段 Because we halve the length of an interval at each step the limit of the interval's length is zero. Thus there is a number X which is in each Interval I_n 為什麼 若 範圍趨近於無限小 則 數列會收斂到一個X? 我目前只能確定 若 數列會收斂到一個X 則 範圍趨近於無限小 ----- Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z00AD. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.231.239.193 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1469982318.A.6C8.html
推
08/01 00:46, , 1F
因為完備性公設(?
08/01 00:46, 1F
推
08/01 01:25, , 2F
我的想法是，當範圍不斷縮小時，我假設In的開區間半
08/01 01:25, 2F
→
08/01 01:25, , 3F
徑是epsilon,而且在這個區間內仍然有數列中無限多
08/01 01:25, 3F
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08/01 01:25, , 4F
個點。也就是說，存在一個正數N使得任何n>N都有|a_(
08/01 01:25, 4F
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08/01 01:25, , 5F
n)-x|<epsilon
08/01 01:25, 5F
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08/01 01:25, , 6F
(這是顯然的，因為妳有無限多個點在這區間中)這樣就
08/01 01:25, 6F
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08/01 01:25, , 7F
符合數列收斂的定義了
08/01 01:25, 7F
你這邊的x指的是甚麼?? 區間In中的任意一點嗎?
推
08/01 01:27, , 8F
範圍的左邊界是遞增數列 右邊界是遞減數列
08/01 01:27, 8F
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08/01 01:28, , 9F
根據實數的完備性 左邊的數列存在最小上界y
08/01 01:28, 9F
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08/01 01:28, , 10F
而且這個y顯然都比右邊的遞減數列小
08/01 01:28, 10F
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08/01 01:29, , 11F
因此y會落在每個範圍裡面
08/01 01:29, 11F
→
08/01 01:30, , 12F
現在如果有y和z都落在每個範圍裡面
08/01 01:30, 12F
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08/01 01:30, , 13F
那y到z的距離會被壓縮成0 因此是唯一一點
08/01 01:30, 13F
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08/01 01:32, , 14F
英文那段敘述只是說 存在一點落在每個範圍裡面
08/01 01:32, 14F
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08/01 01:32, , 15F
這點是不是數列的收斂值 是那段後面才證的東西
08/01 01:32, 15F
謝謝，這個解釋很清楚^^
推
08/01 07:37, , 16F
Bolzano-Weierstrass指的一個有邊界的區間裡頭, 如
08/01 07:37, 16F
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08/01 07:37, , 17F
果有數列包含在裡面, 則該數列一定有收斂的子數列
08/01 07:37, 17F
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08/01 07:38, , 18F
你舉ln(x)的例子, 變成是連續的定義了, 和Bolzano-W
08/01 07:38, 18F
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08/01 07:38, , 19F
eierstrass沒什麼關係
08/01 07:38, 19F
推
08/01 07:44, , 20F
比如說你隨便給我一個數列，這個數列的每一項都包含
08/01 07:44, 20F
→
08/01 07:44, , 21F
在(0,1) 區間裡頭，則這個數列必定有收斂的子數列
08/01 07:44, 21F
推
08/01 07:47, , 22F
這就是Bolzano-Weierstrass要表達的意思
08/01 07:47, 22F
推
08/01 08:53, , 23F
v大，如果您是指我的部分的話，那個In是指第n個區
08/01 08:53, 23F
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08/01 08:53, , 24F
間，沒有標示好讓您誤會了~~
08/01 08:53, 24F
推
08/01 09:41, , 25F
v大是把In看成Ln了嗎XD
08/01 09:41, 25F
推
08/01 09:42, , 26F
只看到推文的ln 囧
08/01 09:42, 26F
推
08/01 09:56, , 27F
耍笨了
08/01 09:56, 27F
※ 編輯: ppu12372 (36.231.239.193), 08/01/2016 11:37:08
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08/01 13:04, , 28F
基本上就是 Cantor Intersection Theorem
08/01 13:04, 28F
※ 編輯: ppu12372 (117.19.112.216), 08/01/2016 16:48:15
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