f (x,y) = 2 ; x≧0,y≧0,x+y≦1 其他為0
XY
u=x+y , v=x-y ，求(u,v)的結合分布機率密度函數，及兩者是否獨立?
f (u,v) = f ((u+v)/2,(u-v)/2) |J| = 1 ; 0≦u≦1, -u≦v≦u
UV XY
u
f (u) = ∫ f dv =2u ; 0≦u≦1
U -u UV
1
f (v) = ∫ f du = 1+v ; -1≦v≦0
V -v UV
1
f (v) = ∫ f du = 1-v ; 0≦v≦1
V v UV
因為 f ≠ f f 所以不獨立
UV U V
可是算cov(U,V) = E[UV] - E[U] E[V]
u
E[UV] = ∫ ∫ uv f dvdu = 0
-u UV
0 1
E[V] = ∫ v (1+v) dv +∫ v (1-v) dv =0
-1 0
所以cov(U,V) = 0 => 獨立
這兩個結果是不是哪一個有錯?
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推
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