[線代] 對角化是非題

看板Math作者 (AlexWon)時間8年前 (2016/07/02 22:47), 編輯推噓9(9推 0噓 28→)
留言37則, 6人參與, 最新討論串1/1
前輩們好，有些是非題不知如何解，可能是自己的盲點吧。先謝謝前輩們願意幫忙！ 1. 若在R^n 中T為一個可對角化之線性運算子，則存在一個唯一的基底B使得[T]B為一個 對角矩陣。答：F 請問是因為基底的行可以隨意變換(向量相同)所以才錯的嗎？ 2. 在R^n中的一個線性運算子T之特徵多項式為一個n次多項式。答：T 請問所謂「n次多項式」是什麼？我查到定義是「det(A - tIn)」，這跟次方有什麼關係 ？ 3. 若在R^n中的一個線性運算子T之特徵多項式不可分解為因式的乘積，則T不可對角化。 答：T 是因為沒有相對應的特徵值的緣故嗎？難道不能用複數特徵值？ 4. 若T為一個可對角化的線性運算子，0為其一個特徵值且有重根數m，則T之零空間的維 度等於m。答：T 不是應該是T的「行空間」的維數等於m嗎？ 5. 若B1，B2，...，Bk為一線性運算子T不同特徵空間的所有基底，則B1 U B2 U...U Bk 是由T的特徵向量所構成的一個R^n空間基底。 這題完全沒有頭緒... 謝謝你們的幫忙：") -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.141.153.5 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1467470846.A.125.html
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07/02 22:48, , 1F
最後一題答案是F
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推
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比如說一個opponent全為2的2x2矩陣A他的det(A-入I)=
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(2-入)(2-入)-2*2 那入^2-4入就是他的特徵多項式(ch
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aracteristic polynomial)
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喔喔喔我好像懂了！！謝謝你
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1. 例如你可以把v1改成2*v1，這樣就是不同基底
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3.所謂能不能分解要看你的field而定，如果你是overC
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那麼當然都可以完全分解，但是如果是overR，就會有
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不能分解的狀態發生(例如 x^2+1)
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在overR的情況，你不能強硬的用C的元素當特徵數
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推
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4可以從可對角化矩陣代數重數=幾何重數得知 (dim(N(
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A-入I))=m=dim(N(A)))
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推
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5的話不太確定 我只想到都線性獨立再來就不知道怎麼
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說明了 因為聯集所以是bi相加所以無法?
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推
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可以用子空間聯集不一定還是子宮頸說明看看
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推
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5是聯集起來線性獨立，但不一定會形成整個R^n的基
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底吧？
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推
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5是最基本的觀念，不是所有線性映射皆可對角化，所
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以自然不一定能找出eigenvectors所集合出來的basis
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如果5的敘述是對的，就表示該線性映射是可對角化的
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推
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可以看旋轉矩陣Over F=R,特徵多項式不能分解，所以
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不可以對角化
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謝謝各方英雄解題XDD
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想請問什麼是OverR？
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第四題，我也有想到，可是為什麼是「零空間」維度？
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推
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每個向量空間都會佈於一個Field (over field), 向量
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裡面的倍數可以提出來或乘倍數進去，則該倍數必須要
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是那個field的元素，例如（a,a）=a(1,1)，最常見的f
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ield就是R(實數）和C（複數）
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在第三題裡，如果是Over C，則由代數基本定理，一定
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可以分解找出n個解，不過若是Over R則不然，n次多
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項式不一定能找出n個解，例如t^2+1，在t為實數的情
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況下無解
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推
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第四題，請觀察特徵值為0的特徵空間(eigenspace) ,
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該特徵空間就是T的Nullspace(kernel), 請將定義看
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熟
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再次謝謝解釋：")
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