[代數] 方陣的跡的定義
以前的筆記
熟知方陣的跡(Trace)有如下三條性質:
1. Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B);
2. Tr(kA)=kTr(A);
3. Tr(AB)=Tr(BA).
前兩條性質說明, Tr(A) 是線性空間 Mn(K) 內的一個線性函數. 第三條性質比較獨特.
事實上, 對於線性空間 Mn(K) 內的線性函數, 第三條性質為”跡” 所獨有! 換句話說,
我們可以用下面的方式來定義方陣的跡:
設 f 是數域 K 上的線性空間 Mn(K) 內的一個線性函數, 如果滿足如下條件:
f(AB)=f(BA),∀A,B∈Mn(K)
那麼, f(A)=f(E)/nr(A), 這裡 E 是 n 階單位方陣.
姑且把這個論斷稱為“方陣的跡界定定理”. 如果在這個”定理” 的前提假設增加一
條, 即如果 f 還滿足
f(E)=n,
那麼, f(A) 就是 Tr(A).
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