[中學] 半圓質心位置

看板Math作者 (修煉人生)時間10年前 (2015/11/12 22:05), 10年前編輯推噓4(4推 0噓 23→)
留言27則, 4人參與, 最新討論串1/1
http://i.imgur.com/Ln5rdSu.png?1 想請教大家，質量均勻分佈的半圓的質心， 距離圓心的位置，除了用積分的方式之外， 有沒有什麼巧妙的算法？＠＠ -- 迷途中唯一的導航 是對自己誠實 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.240.91.95 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1447337122.A.CD1.html ※ 編輯: Tiderus (123.240.91.95), 11/12/2015 22:14:15
推
11/12 22:57, , 1F
我小時候有想過
11/12 22:57, 1F
→
11/12 22:58, , 2F
我當時是想 半圓質心是左右1/4圓質心的連線中點
11/12 22:58, 2F
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11/12 22:58, , 3F
這三點跟圓心構成的三角形 高是半圓質心距離
11/12 22:58, 3F
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11/12 22:59, , 4F
斜邊是1/4圓質心距離 這兩個距離的夾角是1/4pi
11/12 22:59, 4F
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11/12 23:00, , 5F
回推 1/4圓由兩個1/8圓組成 1/4圓質心距離線跟1/8圓
11/12 23:00, 5F
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11/12 23:01, , 6F
的質心距離線夾腳1/16pi
11/12 23:01, 6F
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11/12 23:02, , 7F
無限推到最小扇形 這個扇形質心距離圓心0.5R
11/12 23:02, 7F
推
11/12 23:03, , 8F
Pappus's centroid theorem + 球體積 + 半圓面積
11/12 23:03, 8F
→
11/12 23:03, , 9F
所以所求=0.5R*cos1/4pi*cos1/16pi*..*cos1/4^npi
11/12 23:03, 9F
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11/12 23:03, , 10F
不知道這樣對不對
11/12 23:03, 10F
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11/12 23:04, , 11F
把積分的部分藏起來
11/12 23:04, 11F
推
11/12 23:07, , 12F
應該沒有 不然一定有高中老師手賤出考題XD
11/12 23:07, 12F
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11/12 23:14, , 13F
woieyufan的好像算的出來耶
11/12 23:14, 13F
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11/12 23:16, , 14F
設 a_n = 0.5R cos(pi/4) cos(pi/8) ... cos(pi/2^n
11/12 23:16, 14F
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11/12 23:20, , 15F
...好像怪怪的
11/12 23:20, 15F
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11/12 23:21, , 16F
啊我知道為什麼了
11/12 23:21, 16F
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11/12 23:22, , 17F
非常小的扇形應該要近似成三角形 所以重心在2R/3的
11/12 23:22, 17F
→
11/12 23:22, , 18F
才對
11/12 23:22, 18F
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11/12 23:23, , 19F
所以一樣設a_n = (2R/3) 乘後面那一串
11/12 23:23, 19F
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11/12 23:24, , 20F
a_n sin(pi/2^n) = (2R/3) (1/2^(n-1))
11/12 23:24, 20F
→
11/12 23:26, , 21F
所以 a_n = (4R/3pi) (sin(x)/x), x=pi/2^n
11/12 23:26, 21F
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11/12 23:26, , 22F
n趨近於無限 x趨近於0 所以sin(x)/x趨近於1
11/12 23:26, 22F
推
11/12 23:27, , 23F
感謝 我才發現我連倍率都寫錯了XD
11/12 23:27, 23F
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11/13 09:35, , 24F
kerwinhui大的東西好像比積分還難..XD
11/13 09:35, 24F
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11/13 09:37, , 25F
D大這題的來源是高中物理題目...XD
11/13 09:37, 25F
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11/13 10:37, , 26F
反正高中遇到這題 我也是叫學生積分最快
11/13 10:37, 26F
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11/13 10:37, , 27F
物理不微積分根本不叫物理了嘛
11/13 10:37, 27F
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