[線代] Commutable Operators
大家好，我對commutativity有點問題
我自己的理解如下:
如果operators或是矩陣commutable的話(AB-BA=0)
那就代表這兩個矩陣(假設A, B)可同步對角化
---> 表示這兩個矩陣存在一組相同特徵向量(eigenvectors)
讓A=S(Da)S^-1; B=S(Db)S^-1
---> 表示矩陣A和B有相同的特徵空間(eigen space)
如果上述說法是正確的，那我是不是就能推論
若A和B是commutable，且B和C也commutable，則A和C也會commutable
因為它們的特徵空間皆相同，即commutativity是可以transitive的。
但是查了一下Wiki的資料，發現這個想法是錯的
https://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices
(Wiki的例子) [A,I]=0, [B,I]=0 ---> [A,B]=\=0
它上面又提到:
"If restricted to Hermitian matrices without multiple eigenvalues,
then commutativity is transitive."
想請問，我上面的想法是哪邊出了問題呢?
是不是A和B可同步對角化並不代表它們有相同的特徵空間?
如果是，這又是為什麼呢?
然後我也想知道為何條件限制成沒有重根特徵值的Hermitian matrices時，
則commutativity又變得有transitive的性質了。
我可以在哪邊找到這個性質的證明呢?
麻煩線代高手幫忙解惑了，問題很多實在非常感謝!
--
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