[分析]實數的完備性公設

看板Math作者 (linshihhua)時間10年前 (2015/09/17 13:30), 編輯推噓3(3推 0噓 9→)
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請問所謂的完備性公設， 是因為我們直接當作實數集存在並且附帶有一些運算規則， 在這種情形下我們直接把實數的完備性當作公設所以不用去證明， 如果我們是利用有理數去構造出實數出來， 那麼實數的完備性是可以證明的， 這樣理解是否正確? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.128.127.84 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1442467840.A.808.html
推
09/17 14:49, , 1F
沒錯 用有理數構造實數 本來也就是為了完備性
09/17 14:49, 1F
推
09/17 16:52, , 2F
他可以直接被當公理用 也可以藉由承認其他公理來推
09/17 16:52, 2F
→
09/17 16:52, , 3F
得它
09/17 16:52, 3F
推
09/18 15:33, , 4F
從邏輯的角度說 "理論"就是由公設按邏輯規則可推出
09/18 15:33, 4F
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09/18 15:34, , 5F
來的全部命題 用有理數構造出實數 是證明了"確實有
09/18 15:34, 5F
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09/18 15:36, , 6F
個集合滿足此理論" 同時也就說明"這組公設不會推導
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09/18 15:36, , 7F
出矛盾"
09/18 15:36, 7F
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09/18 15:37, , 8F
然後 事實上還可以證明"滿足完備性公理的有序體都是
09/18 15:37, 8F
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09/18 15:39, , 9F
同構的"意即實數系有唯一性 這是分析的公設特別之處
09/18 15:39, 9F
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09/19 01:57, , 10F
可是拿掉完備性公理，可以有一個跟實數在一階邏輯上
09/19 01:57, 10F
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09/19 01:58, , 11F
等價但是不同構的模型，而且還可以只有可數多個
09/19 01:58, 11F
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09/19 01:58, , 12F
實數 ...:[
09/19 01:58, 12F
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