[分析] Borel set的生成問題
Borel sets 被定義為包含所有 open sets 最小的 σ-algebra
n
設 |R 上
所有 open sets 所形成的集合為 G
所有 Borel sets 所形成的集合為 B
則
G , G , G , G , ...
δ δσ δσδ δσδσ
都被 B 所包含
我的問題是 令
(0) (n+1) (n)
G = G, G = G
δσ
∞ (n)
則我可以說 B = ∪ G 嗎?
n=0
如果不行的話 有什麼反例嗎?
(ω_1)
維基百科寫 對於 general 的 Borel sets 我們有 B = G 其中 ω_1 是 first
uncountable ordinal number
n
如果今天考慮的 Borel set 在 |R 上 能把上面的條件弱化嗎？
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我想這應該是個經典問題
雖然已經試著爬過文
但可能是因為不知道這個問題該打什麼關鍵字
沒有找到相關的資料
只好丟到板上請教了@@
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2 2 1 ψxavier13540
給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x° t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。
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