Re: [代數] Prove [a,b]=ab/(a,b)
反證法
因為 ab/(a,b) = a * (b/(a,b)) = b * (a/(a,b)) 為 a,b 之公倍數
以下令 a/(a,b) = a' , b/(a,b) = b'
假設 ab/(a,b) 不是最小公倍數
則 [a,b] < ab/(a,b)
但我們知道
ab/(a,b) = (a,b) * a' * b'
且
[a,b] | a' , [a,b] | b' ---------------------(1)
[a,b] | (a,b) * a' , [a,b] | (a,b) * b'-------(2)
因為(a,b)是最大公因數，我們又得知 ( a', b' ) = 1 兩數互質
故 [a,b] | (a,b) * a' * b' ( = ab/(a,b) )
與 [a,b] < ab/(a,b) 矛盾
故得證
最後兩行補充說明(這邊寫清楚一點)
由 (2) 我們知道 [a,b] = (a,b)*a'*p = (a,b)*b'*q
不失其一般性假設 a'< b'
推得 a'*p = b'*q
我們得到 q = (a'/ b') * p
又 (a',b') = 1 , a'/ b' 為最簡分數
q 為一整數，故 p | b' 令 p = b'*r
所以 [a,b] = (a,b)*a'*b'*r
故 [a,b] | (a,b)*a'*b'
※ 引述《sightseer ()》之銘言：
: If a>0 and b>0, prove that [a,b]=ab/(a,b)
: where [a,b]=the least common multiple of a and b
: (a,b)=the greast common divisor of a and b
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推
04/13 19:34, , 1F
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