[微積] Construct infinite sequence from Taylor's theorem

看板Math作者 ( )時間11年前 (2014/12/30 13:16), 11年前編輯推噓2(2推 0噓 28→)
留言30則, 4人參與, 最新討論串1/1
對於一個可在a點, 微分無窮多次的函數, f(x):R -> R Taylor's theorem告訴我們 此函數可以在a點展開成如下所示 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + R1(c1,x), 其中c1存在於在x與a之間 也可以展開成如下所示 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)*f''(a)(x-a)^2 + R2(c2,x) , 其中c2存在於x與a之間 以此類推, 我們可以得到無窮多個 c1, c2, c3, c4, ... 請問此數列, {c}, 是否會在某些條件下, 收斂到a? 因為好奇, 我用excel分析sin(x)在a=1或a=0 的情況, 都發現各自的c數列都有往a靠近的趨勢, 不知道是否有相關定理是在描述此現象? 附註: R1 與 R2 定義在維基百科的連結內 http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem 在 [Explicit formulae for the remainder] 的(2.2)小節裡面 其中我做的實驗是採用 Lagrange form of the remainder -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.228.80.234 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1419916596.A.E6F.html
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12/30 13:19, , 1F
簡單的函數微積分課本應該都會說明這個現象
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12/30 13:20, , 2F
不過不是所有taylor series都會收斂到原函數
12/30 13:20, 2F
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:22:57 那些taylor series不會收斂到原函數? ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:31:44
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12/30 13:35, , 3F
三角函數跟exponential函數會完全收斂到原函數
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12/30 13:37, , 4F
但是例如1/(1-x)=1+x+x^2+...就可以看出x>=1或<=-1
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12/30 13:37, , 5F
就不收斂了
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您好, 那您可能要說: 對於某些taylor series來講, 並不是對所有的x屬於R, 都會收斂.(這樣講比較精確) 因為taylor series的定義就是針對那些, x在某個範圍內, 已經收斂的級數 (偏離主題了) ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:55:48 ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:57:07
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12/30 13:59, , 6F
也不是這樣說，例如f(x)定義在x=0時等於0，x!=0時
12/30 13:59, 6F
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12/30 14:00, , 7F
e^(-1/x^2)，你會發現taylor series=0，除了x=0以外
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都不收斂到原函數
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12/30 14:03, , 9F
而計算f'(x)需要一些技巧，limx->0 e^(-1/x^2)/x
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12/30 14:05, , 10F
=(1/x)/(e^(1/x^2))在上下用l'Hopital's Rule解
12/30 14:05, 10F
我完全同意您的觀點, 但此觀點跟我之前對taylor series的想法有矛盾嗎? ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:10:07
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12/30 14:12, , 11F
我剛剛舉例的taylor series確實收斂，可是卻不等於
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12/30 14:12, , 12F
原函數
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了解,寫謝你. 問題點就是, 當x在適當的範圍內, taylor series一定會收斂, 但存在不是收斂到原函數的taylor series (還是離題了..) ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:21:24 ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:24:05
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12/30 14:33, , 13F
呃..我搞錯你的意思了，那你怎麼定義你的R1R2?
12/30 14:33, 13F
謝謝你再次注意到內文 R1 與 R2 定義在維基百科的連結內 http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem 在 [Explicit formulae for the remainder] 的(2.2)小節裡面 其中我做的實驗是採用 Lagrange form of the remainder ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:37:15
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12/30 14:47, , 14F
我想了個不太嚴謹的做法，R=f微k+1(xi)=
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12/30 14:48, , 15F
f微(k+1)(x-a)^(k+1)+f微(k+2)(x-a)^(k+2)+...
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12/30 14:56, , 16F
我放棄，剛剛想的邏輯不對...
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沒關係, 因為我是想說, 我的數學程度只到高等微積分 沒修過實變, 只是想知道是否有定理是在描述此現象罷了 ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:58:57
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12/30 18:00, , 17F
有個叫做「收斂半徑」的東西...
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啊，你問的好像是不太一樣的東西...所以你的Rn函數
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12/30 18:03, , 19F
是怎麼定義的？
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12/30 18:04, , 20F
如果沒有特殊定義限制住Rn的形式，隨便都可以製造出
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12/30 18:04, , 21F
c_n --> a 啊
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Rn的定義請看推文區的白字 ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 19:35:02 ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 19:44:04 ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 19:45:53
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12/30 20:02, , 22F
先確認一下，你知道c_n都不是常數而是x的函數吧？
12/30 20:02, 22F
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12/30 20:03, , 23F
但是對任何x，c_n(x)的確都會趨近a的
12/30 20:03, 23F
這我知道 :D ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 20:05:19
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12/30 20:05, , 24F
假設f無限次可微，而且無窮泰勒級數收斂
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12/30 20:07, , 25F
則 R_(k+1) 跟泰勒級數第(k+1)項的差就是級數(k+2)
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項以後的和
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12/30 20:08, , 27F
因為無窮級數收斂，後面的和遲早要收斂到零去
12/30 20:08, 27F
R -> 0 跟 c_n -> a 有什麼關係? ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 20:22:13 ※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 20:28:12
推
12/30 20:50, , 28F
如果f原本就是多項式 那餘項隨便取哪點 值都是0阿XD
12/30 20:50, 28F
推
01/01 20:58, , 29F
樓上點出題目敘述的不足之處 應該要取所有可能
01/01 20:58, 29F
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01/01 20:58, , 30F
值的 inf. XD
01/01 20:58, 30F
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