[複變] 有關ln的留數積分
有題多值函數暇積分的問題想請教大家
∫ln(x+1)/x^(c+1)dx，0< Re(c) <1
積分區間為0~無窮，答案應該是 pi/[c*sin(c*pi)]
以下是我的過程，卡在一半
我取的contour為
C1: 0~無窮的直線
C2: 半徑無窮的圓逆時針繞
C3: 無窮~0的直線
C4: 半徑趨近於零的圓順時針繞
Branch cut為 0~無窮的直線
奇異點為0
積分C1 + 積分C2 + 積分C3 + 積分C4 = 0
on C1:
∫ln(r+1)/r^(c+1)dr
on C2:
積分為零，因為 0<Re(c)
on C3:
我得到的結果為 -e^(i2*c*pi)*∫ln(re^(i2*pi) + 1)/r^(c+1)dr
on C4:
積分為零，因為 Re(c)<1
我卡在C3，不確定是否ln(re^(i2*pi) + 1) = ln(r + 1)
如果相等卻會得到答案是零
是否我的contour取錯了?
還有想請問如果c是複數又該如何處理?
上面的算法是假設c為實數
但是複數的話就不曉得該怎麼討論了
麻煩大家了，感謝!!
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