最近在算到一個矩陣題目，不知道要如何下手，所以想請大家幫我想看看。
題目: Let A and B are positive matrices. Show taht
c A^-1 + (1-c) B^-1 >= [ c A + (1-c) B ]^-1, 0 < c < 1
我想法是，因 A, B 都是正定， 所以應該找的到一組 P=[P_1,...,P_n]
可以同時對角化。 對應 A 特徵值 [lamda_11, lamda_12, ..., lamda_1n ]
對應 B 特徵值 [lamda_21, lamda_22, ..., lamda_2n ]
然後用 1/x， 他是凸函數，所以使得
c * 1/lamda_11 + (1-c) / lamda_21 >= 1/(c*lamda_11+(1-c)*lamda_21)
兩邊同乘 P_1P_1'
c * 1/lamda_1*P_1P_1' + (1-c) / lamda_2*P_1P_1'
>= 1/(c*lamda_1+(1-c)*lamda_2)*P_1P_1'
最後，相加 n 組特徵值，即可得證。
因為不太會用 BBS 打數學符號，且小弟數學薄弱不知這樣證明是不是有很大問題。
請大家見諒， Orz。
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