[幾何] 證明存在不為零向量場
定理是：
一個可以定義Lorentz metric的compact流形
若且為若流形上存在一個處處不為零的向量場。
--------------
底下先描述一下知道的和嘗試的證明，再描述不懂的地方。
(<=的證明)
假設該向量場為v，因為流形compact必可定義一個黎曼度規，g.
利用這個黎曼度規，可以建造如下的Lorentz metric, h :
h( , ) = -2g(v, ) x g(v, ) + g( , ),
其中我們已經默默的把v normalized, g(v,v)=1.
(=>的證明)
考慮 Lorentz metric h 相對於g(總是可以定義黎曼度規g)的特徵向量方程：
h( ,v) = u g( ,v), 其中u是特徵值，v是特徵向量。
u一定有一個值是負的，因為h是Lorentz metric.
考慮該負特徵值對應到的特徵向量v，我們總可以normalize v使得h(v,v) = -1.
這個永遠指向time-like方向的方向場就是一個處處不為零的向量場。
---
疑問：
對於(=>)的證明不太懂，因為我不曉得Lorentz metric的性質重要在哪兒？
(只知道說h是Lorentz會使得u有一個是負的，但這個負號有什麼意義？)
如果把h( ,v) = u g( ,v)中的h改為黎曼度規，那我可以說h(v,v)>0 always，
所以把v normalize成v^2=1的話，我也可以得到一個處處不為零的向量場嗎？
這樣顯然不太對，因為如果這樣是對的，那所有compact manifold都存在
一個處處不為零的向量場了。
有人能詳細說明一下(=>)到底該怎麼證，或者該怎麼理解上面的證明呢？
謝謝！
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 129.234.0.5
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1403543720.A.180.html
※ 編輯: gerbe (129.234.0.5), 06/24/2014 01:15:56
推
06/27 16:27, , 1F
06/27 16:27, 1F
→
06/27 19:31, , 2F
06/27 19:31, 2F
→
06/27 19:31, , 3F
06/27 19:31, 3F
推
06/27 23:35, , 4F
06/27 23:35, 4F