[微積] ∫|sin(nx)|dx定積分的極限(n->∞)
想請教版友以下的積分極限:
given a<b
b
lim ∫|sin(nx)| dx = ?
n->∞ a
Ans: 2(b-a)/π
看到一個解答，直接由極限定義:
for all ε > 0 , there exists N > (2π/ε) s.t. if n>N, then
b
|∫|sin(nx)| dx - 2(b-a)/π | ≦ 2π/n < 2π/N < ε
a
不懂為什麼解答:
(1) 似乎直接知道極限為 2(b-a)/π
(2) 絕對值 ≦ 2π/n
一點點想法...
2是n=1時[0,π]上的積分面積；而π為n=1時的週期；因此答案的極限看起來有點像是
"平均高度" 2/π * "長度" (b-a)
非常謝謝大家!
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◆ From: 140.112.243.36
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推
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