[線代] Variational Description of Eigenvalues

看板Math作者 (玩我豬)時間10年前 (2014/03/03 16:21), 編輯推噓0(0推 0噓 15→)
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我知道這個定理的目的 http://i.na.cx/fu13r.png
是在找最小和最大的特徵值以外的其他待徵值. 但是符號上和意義上就不太知道在說什麼, proof也嘗試看了多次,也不太懂 所以想先請版友指教一下定理的意思,有點概念才再次看proof... 可不可以以盡量淺白的文字來說這個定理是啥意思呢? 因為subspace的那些搞到頭昏腦脹了... 謝謝版友. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.191.81.96
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03/04 08:10, , 1F
這是說一個矩陣的 eigenvalue 可以用
03/04 08:10, 1F
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03/04 08:10, , 2F
Rayleigh quotient 去表示.
03/04 08:10, 2F
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03/04 08:11, , 3F
Rayleigh quotient 是個實數值函數, 可以定義成
03/04 08:11, 3F
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03/04 08:12, , 4F
x*Ax/x*x, 其中x不為0
03/04 08:12, 4F
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03/04 08:12, , 5F
如果 U 是一個 k 維子空間, x 屬於 U, 第一個等式說
03/04 08:12, 5F
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03/04 08:13, , 6F
Rayleigh quotient 這函數先對 x 取 min,
03/04 08:13, 6F
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03/04 08:13, , 7F
再對所有子空間 U (維度 k) 取 max, 則其值為 λ_k
03/04 08:13, 7F
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03/04 08:16, , 8F
第二個等式就先對 x 取 max, 再對子空間 U 取 min.
03/04 08:16, 8F
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03/04 08:23, , 9F
上述 U 就是 圖片裡的 V_k
03/04 08:23, 9F
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03/04 21:03, , 10F
那第一式可以說成在一個盡量大的subspace V_k 中，
03/04 21:03, 10F
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03/04 21:03, , 11F
找一個最小的值x，便能找到第k個特徵值嗎？
03/04 21:03, 11F
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03/05 06:26, , 12F
OK啊, 只要實際操作上不出錯就行
03/05 06:26, 12F
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03/05 22:55, , 13F
謝謝指教，我繼續看下去了
03/05 22:55, 13F
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01/02 15:41, 5年前 , 14F
x*Ax/x*x, 其 https://daxiv.com
01/02 15:41, 14F
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07/07 11:54, 4年前 , 15F
x*Ax/x*x, 其 https://noxiv.com
07/07 11:54, 15F
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