[線代] 正交矩陣必可對角化?

看板Math作者 (nono)時間12年前 (2014/01/20 15:30), 編輯推噓2(2032)
留言34則, 7人參與, 6年前最新討論串1/1
如題 我在寫考古題時 解答突然說了這句 也沒解釋,就繼續做下去了 ** 不好意思,我把問題敘述的更清楚點 我想問,不論是佈於C或R, 特徵根如果皆不相同當然可以對角化 那如果是1,1,-1 或1,1,1 這樣是不是要討論幾何重數和代數重數必相等? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.253.19.26

01/20 16:41, , 1F
該矩陣是 normal
01/20 16:41, 1F

01/20 16:59, , 2F
旋轉矩陣是正交矩陣,可是不能對角化。
01/20 16:59, 2F

01/20 17:03, , 3F
over R 不行 可是 over C 可以
01/20 17:03, 3F
喔 對阿 我也在想是over R or over C ,題目是 A 3 by 3 real matrix T is said to be in SO(R,3) if det(T)=1 and ||Tx||=||x|| ^^^^^^^ for all x 屬於 R^3. 其實這裡我看不懂 (1)show that for such T there is a nontrivial u 屬於 R^3 such that Tu=u. (2)find the Jordan canonical form of each T. 解答都只有考慮λ=±1 ,我是覺得還要考慮如λ=1/√2±1/√2 i 吧 然後我是卡在第二題 ※ 編輯: nobrother 來自: 111.253.19.26 (01/20 17:30)

01/20 17:46, , 4F
SO(R,3): special orthogonal 3x3 matrices over R
01/20 17:46, 4F

01/20 17:47, , 5F
"special" 指的是 det = 1
01/20 17:47, 5F

01/20 18:01, , 6F
原來如此,所以考慮有i的特徵根是我想太多
01/20 18:01, 6F

01/20 18:12, , 7F
其實第一題我會這麼做:
01/20 18:12, 7F

01/20 18:13, , 8F
因為T是unitary over C,所以可以對角化
01/20 18:13, 8F

01/20 18:14, , 9F
特徵值有一個實數,兩個共軛複數
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01/20 18:15, , 10F
所以至少會保留R^3的一個方向不變
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01/20 18:16, , 11F
至於Jordan form...那是什麼可以吃嗎? ̄▽ ̄
01/20 18:16, 11F

01/20 19:06, , 12F
咦,第一題照你的解釋,T不是over R嗎?
01/20 19:06, 12F

01/20 19:07, , 13F
另外,為何在C就可對角化?
01/20 19:07, 13F

01/20 19:44, , 14F
他的意思是特徵多項式 split (over C) 所以可以
01/20 19:44, 14F

01/20 19:46, , 15F
對角化(在 C) 又共軛根成對出現,由 det = 1 至少有
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01/20 19:46, , 16F
一 eigenvalue 1
01/20 19:46, 16F

01/20 19:54, , 17F
over R 特徵值解出虛數 就無法在R對角化 C就沒這問題
01/20 19:54, 17F

01/20 19:56, , 18F
厄..我是想問,如果特徵值是1,1,1呢?
01/20 19:56, 18F

01/20 19:59, , 19F
那不是更好啊...
01/20 19:59, 19F

01/20 20:00, , 20F
但是不是要另外說明他的代數重數和幾何重數相等
01/20 20:00, 20F
※ 編輯: nobrother 來自: 111.253.19.26 (01/21 00:33)

01/21 01:23, , 21F
首先,det = 1 所以不可以 1, 1, -1。你想要講的應
01/21 01:23, 21F

01/21 01:24, , 22F
該是 1, -1, -1 吧?
01/21 01:24, 22F

01/21 01:25, , 23F
然後,另外兩個根是不是實數根本不重要,只要確定有
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01/21 01:25, , 24F
一個 +1,其他通通可以放水流
01/21 01:25, 24F

01/21 01:25, , 25F
(↑大提示喔)
01/21 01:25, 25F

01/21 10:24, , 26F
這是在討論T必有1這個特徵根嗎?我想問的是為什麼正交
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01/21 10:24, , 27F
矩陣一定可以對角化?
01/21 10:24, 27F

01/21 16:09, , 28F
unitary matrix over C is diagonalizable
01/21 16:09, 28F

01/21 16:09, , 29F
這不是每本課本都會有的嗎?
01/21 16:09, 29F

01/21 19:30, , 30F
是喔,啊,那是為什麼啊?
01/21 19:30, 30F

01/22 10:50, , 31F
因為,正交矩陣NORMAL阿。
01/22 10:50, 31F

01/22 13:50, , 32F
喔喔,對吼,感謝
01/22 13:50, 32F

01/02 15:39, 7年前 , 33F
厄..我是想問,如果特 https://muxiv.com
01/02 15:39, 33F

07/07 11:49, 6年前 , 34F
over R 特徵值解 https://moxox.com
07/07 11:49, 34F
文章代碼(AID): #1ItD2p2n (Math)