Re: [微積] 逆運算子＆一題fourier
※ 引述《tp62u04 (小凱小凱)》之銘言：
: 逆運算子 在 1 1
: ----- (cos(ax))= ------
: L(D^2) L(-a^2)
: 可是必須-a^2不等於0
: 那如果剛好等於0是否只能慢慢用積的？ （ EX: e^-x S e^x f(t) dt ?)
: 還是有別的算法？
: 舉例＠＠
: f(x)=t 0<t<2π f(t+2π)=f(t)
: solve (D^2+9)y=f(t) 的 particular solution
: 感謝神手板友了！！！！！！！ （跪
: ＰＳ 順便問一下...為什麼 這f(t)的 fourier series 的a0不是 (2π+0)/2 ?
: 還是解答寫錯了...我解答上面是給π/4＠＠
既然在原文底下推文連續搞笑，我只好負起責任好好回答了 ﹙ˊ_>ˋ﹚
首先，f 的級數首項：
T
a0 = (1/T) S f(t) dt 乖乖照定義來才不會出錯
0
2π
= (1/2π) S t dt
0
= π
然後，你既然要解 (D^2+9)y=f(t)，需要的其實是
1
------------
D^2 + 9
才對。
所以你該擔心的其實是 (D^2 + 9) = 0，不是 D^2 = 0。
但是 (D^2 + 9) y = 0 就是通解而已，略過就好。
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你喜歡下列哪一個學妹？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.110.184.241
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12/06 00:46, , 1F
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12/06 00:48, , 2F
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12/06 00:49, , 3F
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12/06 00:49, , 4F
12/06 00:49, 4F
我本來以為直接inverse Fourier過去就好。原來住在有限長t軸上面的函數不太一樣...
那這樣吧：
∞
f(t) = π + Σ (-2/n) sin (nt)
n = 1
這個級數應該沒錯。
y(t) 也一樣先試著展開：
∞
y(t) = a + Σ a sin (nt)
0 n = 1 n
因為右邊只有 sin，左邊絕對不會出現 cos。
代進方程式：
∞ 2 (?) ∞
9 a + Σ (-n + 9) a sin (nt) = π + Σ (-2/n) sin (nt)
0 n = 1 n n = 1
對比係數，發現：
a = π/ 9
0
-2
a = --------------- (n > 0, n!= 3)
n n (9 - n^2)
可是左邊的 n = 3 項消失了。不管你 a 取什麼，代進去直接是零。
3
所以你需要找到另一個函數 g(t) 滿足 (D^2 + 9) g = -2/3 sin(3t)
拿來補上 n = 3 這項。
g 的特解你應該課本上看過了。就算沒看過，我也只能告訴你
g(t) = A t*cos(3t)
這樣帶進去再調整 A 就可以。解微方沒什麼道理，都嘛是你剛好知道答案﹙ˊ_>ˋ﹚
整理起來：
y(t) = a + Σ a sin (nt) + A t*cos(3t)
0 n != 3 n
+ C1 sin(3t) + C2 cos(3t)
以上。
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/06 01:24)
推
12/06 01:32, , 5F
12/06 01:32, 5F
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/06 01:36)