Re: [微積] 極限
※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 完整的第二題如下
: (為了方便,以下的lim都是lim )
: n->無限
: 題目:設f:(0,無限)->R為一函數,
: [x^1/2]
: 且滿足 0 < f(x) < --------- , for all x > 0
: = = x+1
: 取數列{a_n}
: 滿足a_n = {(1+f(1))(1+f(2))...(1+f(n))}^1/n ,for all n > 0
: =
: 試求極限 lim a_n .
: 解答:因為
: lim a_n = exp{lim(1/n){ln(1+f(1))+ln(1+f(2))+...+ln(1+f(n))}}
: 但是
: [n^1/2]
: 0 < f(n) < --------- -> 0 n->無限
: = = n+1
: 故可得
: limln(1+f(n)) = 0
: 所以
上面的極限只保證exponent級數可能存在而已
怎麼可能直接推到exponent = 0
你一定沒有全部照實打出來
: lim a_n = 1
(1/n){ln(1+f(1))+ln(1+f(2))+...+ln(1+f(n))}的下界很容易知道為0
k是自然數
[k^(1/2)]/(k+1) < 1/(k)^(1/2) < 1/sqrt(n)
所以(1/n){ln(1+f(1))+ln(1+f(2))+...+ln(1+f(n))} < ln(1 + 1/sqrt(n))
當n取極限-> 00
上界 -> 0
所以夾擠的結果 = 1
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.250
推
10/27 23:11, , 1F
10/27 23:11, 1F
→
10/27 23:13, , 2F
10/27 23:13, 2F
→
10/27 23:13, , 3F
10/27 23:13, 3F
→
10/27 23:13, , 4F
10/27 23:13, 4F
→
10/27 23:14, , 5F
10/27 23:14, 5F
→
10/27 23:36, , 6F
10/27 23:36, 6F
推
10/27 23:41, , 7F
10/27 23:41, 7F
→
10/27 23:42, , 8F
10/27 23:42, 8F
討論串 (同標題文章)
