[分析] PDE的解為何可以做變數分離這個假設?

看板Math作者 (宅心仍厚)時間12年前 (2013/10/19 22:12), 編輯推噓1(1推 0噓 7→)
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一般在解PDE 無論是Possion eq.、Wave eq.或是Heat eq. 都會將PDE的解做一個變數分離的假設: f(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)或是f(x,t)=X(x)T(t) 但是從來都不知道為何可以做這種假設? 我是有給自己一個解釋就是: PDE的解只要滿足我給定的邊界條件和初始條件 我就可以使用這個假設 但是這個解釋不嚴謹而且似乎邏輯上反過來了...= =" 有沒有定理是在講使用變數分離法這個假設的合法性? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 58.115.108.41
推
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做分離變數只是求出一組最基本的解 這些解可以疊加造
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出不可分離變數的解
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嘖嘖 以前我也問過這個問題XD
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比較有系統的解釋這種方式的合法性，可以參考
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線性算子理論中，self-adjoint compact 算子的譜定理
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那個定理保證了所有solution都能用分離變數的那些
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"基本的解" (或稱此算子的 eigenfunction)
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經過疊加後建構出來
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