[線代] rank VS diagonalizable

看板Math作者 (看不到夢想的我)時間10年前 (2013/09/23 08:00), 編輯推噓3(3推 0噓 11→)
留言14則, 7人參與, 4年前最新討論串1/1
想請教一個簡潔的問題: A is a n*n matrix. 請問以下是否正確?? rank(A) = n <=> A is diagonalizable 左邊條件: dimension of row space of A = the number of independent row vector. 右邊條件: A has n luinerrly independent eigenvectors. 當我讀到SVD分解那章，我發相本題答案是否定的，但想不出為什麼? 有例子嗎? 感謝大家!!^^ -- ╭──╮ 全 q ˙ ． 全 ╭════╮ ║ 燈 電 世 ． 潘 ◤◥◤◥ 陽 街 世 │此路不通│ ║││ 了 界 ˙威 在 一 起 建 ． 了 界 ╰═ ╤ ═╯ ║ 停 都 ‧ 倫 ◣ ◢ 福 ． 封 都 │ ║ ﹕． ˙ ‧ ‧ │ ███ ψsleeeve ███ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 50.135.126.40
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09/23 08:41, , 1F
我印象中是用eigenvalue的個數去判斷可否對角化
09/23 08:41, 1F
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09/23 09:25, , 2F
[[1,1],[0,1]] is of rank 2 but not diagonalizable
09/23 09:25, 2F
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09/23 09:31, , 3F
造法就是觀察若可對角化方陣 A 只有一個特徵值
09/23 09:31, 3F
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09/23 09:32, , 4F
則 A 必為 scalar matrix
09/23 09:32, 4F
推
09/23 20:37, , 5F
代數重根數和幾何重根數相同就可以 要不然要用
09/23 20:37, 5F
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09/23 20:37, , 6F
Jordan form來達到類似的分解
09/23 20:37, 6F
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09/23 20:38, , 7F
而且事實上0矩陣也是對角化了(兩個eigenvalue都是0
09/23 20:38, 7F
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09/23 20:38, , 8F
但是rank是0
09/23 20:38, 8F
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09/23 20:40, , 9F
所以可對角化和rank通常是沒關係的
09/23 20:40, 9F
推
09/23 20:41, , 10F
在R上面也有invertible但不可對角化的例子
09/23 20:41, 10F
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09/23 20:41, , 11F
例如旋轉...
09/23 20:41, 11F
推
09/23 20:41, , 12F
可逆不等同於可對角化，二者不為彼此的成立條件
09/23 20:41, 12F
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01/02 15:32, 5年前 , 13F
我印象中是用eigen https://daxiv.com
01/02 15:32, 13F
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07/07 11:27, 4年前 , 14F
所以可對角化和rank https://muxiv.com
07/07 11:27, 14F
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