Re: [分析] 實變countably monotone的性質一問～
※ 引述《ilmvm0679 (映雪)》之銘言：
: Royden 實變第4版～ 習題第27題：
: Let M' be any σ-algebra of subsets of R, and m' a set function on M' which
: takes values in [0,無窮大], is countably additive, and such that m'(空集合)=0.
: (i) Show that m' is finite additive, monotone, countable monotone, and
: possesses the excision property.
: 其他的我都OK，只是想請問一下 countable monotone 要怎麼證？
: 因為是要證明 對於任意的可數集{E_k}_k從1到無窮大，其中E_k 都是可測的
: 且 {E_k}_k從1到無窮大 為 E 的覆蓋，要有：
: m(E) ≦ sigma k從1到無窮大 m(E_k)
: 可是這些E_k並不見得是＂兩兩互斥＂，所以countable additive不能用啊？！
: 還是要先證明 m' 具有 countably subadditive 的性質？可是這又該怎麼證明呢？
: 先感謝各位大大的幫忙～m_ _m
不知道這樣構造對不對？
Let S_1=E_1, S_n=E_n\(聯集k從1到n-1 E_k) for n=2,3,4,...
Then S_n與S_m兩兩互斥，且 ＂聯集k從1到∞ S_k = 聯集k從1到∞ E_k＂
我唯一想確認的是＂＂內的東西，我將 聯集k從1到∞ E_k 包含於 聯集k從1到∞ S_k
的證明打下來：
如果x屬於聯集k從1到∞ E_k，則x屬於E_j for some j.
＂挑最小的j' 使得 x 屬於E_j'，則x屬於S_j'＂
這樣應該就可以套 countable additive 下去證明了吧？
可以請幫我看看上述有沒有錯誤嗎？ 謝謝～ :)
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推
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