[中學] 圓錐曲線的截痕

看板Math作者 (always smile)時間12年前 (2013/07/25 17:08), 編輯推噓5(5推 0噓 33→)
留言38則, 6人參與, 6年前最新討論串1/1
題:空間中, 有一平面:x+3z=4, 圓錐:x^2+y^2=z^2 此平面截圓錐的圖形為橢圓,求此橢圓的長短軸長及焦點坐標? 我的作法如下 (1.請幫我看有沒有寫正確, 2.且幫我接下去寫完 但我手邊沒有正解,抱歉..): {x+3z=4 ---------(1) {x^2+y^2=z^2 ----(2) 由(1)得 z=(4-x)/3 ,帶入(2) 得 (x-1/2)^2 y^2 ---------- + ----- = 1 是欲求的橢圓,投影在xy平面上的橢圓 9/4 2 平面 x+3z=4 的法向量 為 (1,0,3) 及 xy平面的法向量 為 (0,0,1) 所以兩平面 cosθ= 3/√10 是故,欲求的橢圓 的 長軸長 為 : 2*(3/2)*(secθ)= 2*(3/2)*(√10/3) = √10 短軸長 為 : 2*(√2)*(secθ)= 2*(√2)*(√10/3) = 4√5/3 中心點的坐標 為 : (1/2,0,不會) 所以焦點也不會了>"< 感謝指教喔^^ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 219.71.40.136 ※ 編輯: smilerr 來自: 219.71.40.136 (07/25 17:12)
推
07/25 18:19, , 1F
這樣帶真的會是投影在xy平面上？
07/25 18:19, 1F
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07/25 18:29, , 2F
那個應該只是解集合，把它丟到那個平面上，這樣就會
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07/25 18:29, , 3F
有x,y,z，之後用微分之類的方法，可以嘗試解z的最大
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最小，兩點中間就是中心點。
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07/25 18:57, , 5F
樓上的~這是投影在xy平面上沒錯啊!
07/25 18:57, 5F
推
07/25 19:51, , 6F
這個...中心點的座標不把點帶入原方程式就好了嗎?
07/25 19:51, 6F
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07/25 19:55, , 7F
所以焦點座標是(1,0,1)和(0,0,4/3)
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07/25 20:05, , 8F
把XY座標帶入那個平面的方程式
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07/25 20:16, , 9F
b大 中心點是(1/2,0,7/6) 可是我仍不會找焦點..Orz
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推
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焦點就先求xy平面的焦點 然後投影上去
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07/25 20:22, , 11F
b大,感謝你..我會了 ^__^
07/25 20:22, 11F
推
07/27 05:30, , 12F
這部分可能有點錯要澄清一下：橢圓可以投影成圓
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但是焦點不會變成同一點，所以焦點不能用逆投影求出
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07/27 05:31, , 14F
這題其實不用列橢圓方程（太複雜），其實只要把
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周圍四個點的坐標求出，那其他點就很容易了
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幸好平面只有x和z，所以可以在y=0平面上考慮就好
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07/27 05:34, , 17F
x+3z=4和x=z及x=-z的交點即長軸頂點，(1,1)和(-2,2)
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中心點即為其中點(-1/2,3/2)，長軸長為√10
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短軸頂點比較麻煩，注意到中心點的z坐標3/2
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圓錐和z=3/2相交的圓(半徑3/2)和x=-1/2的交點即為短
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軸頂點，不難求出半短軸長=√[(3/2)^2-(1/2)^2]=√2
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07/27 05:40, , 22F
c=√(a^2-b^2)=√2/2然後在用中心點到長軸頂點的向量
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07/27 05:41, , 23F
縮放就能找出兩個焦點了(y坐標為0應該不難得出)。
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07/27 09:41, , 24F
t大~若這題目改成:平面x+y+3z=2截圓錐x^2+y^2=z^2
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07/27 09:42, , 25F
平面同時有x,y,z的話,那該怎麼辦呢?
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07/27 09:48, , 26F
請問..這類題目..是不是高中數學99課綱之前的舊教材
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07/27 09:50, , 27F
呢? 或是曾經是大學的數學系哪一課的內容嗎?
07/27 09:50, 27F
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07/27 09:51, , 28F
我很想自己去查書弄懂它們..但不知道該查哪類的書..
07/27 09:51, 28F
推
07/30 08:30, , 29F
其實會轉軸的話方法是類似的(只是多一道手續更複雜)
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07/30 08:31, , 30F
把整個坐標空間沿z軸逆時針方向轉45度,即
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07/30 08:32, , 31F
x=(x'-y')/√2 y=(x'+y')/√2 z=z'
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07/30 08:33, , 32F
可以得到只有x'和z'的平面(圓錐方程形式完全不變)
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07/30 08:33, , 33F
最後得到的坐標點再轉軸回去的話就可以得到實際坐標
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07/30 08:34, , 34F
x'=(x+y)/√2 y'=(-x+y)/√2 z'=z
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07/30 08:35, , 35F
因為平面變成(√2)x'+3z'=2的關係,答案會非常醜...
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11/10 12:03, , 36F
短軸頂點比較麻煩，注意 https://muxiv.com
11/10 12:03, 36F
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01/02 15:29, 7年前 , 37F
軸頂點，不難求出半短軸 http://yofuk.com
01/02 15:29, 37F
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07/07 11:16, 6年前 , 38F
軸頂點，不難求出半短軸 http://yaxiv.com
07/07 11:16, 38F
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