[代數] 最大公因數可被公因數整除

看板Math作者時間12年前 (2013/06/04 04:13), 編輯推噓5(5推 0噓 35→)
留言40則, 7人參與, 6年前最新討論串1/1
大家好 我想請教一個證明 在不動用到質因素分解定理之下 試證: 最大公因數可被所有公因數給整除 可以使用principle of well ordering 以及 整數a可用整數b表達成a = bq + r 其中0 <= r < |b| 謝謝回答 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 128.220.159.5
推
06/04 04:53, , 1F
d|b,d|a ==> d|(a,b)
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pf.∃m∃n s.t b=dn,a=dm then (a,b)=(dm,dn)=d(m,n)
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推
06/04 08:57, , 3F
雖然不知道你要的基本證明到底有多基本,不過既然你
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06/04 08:58, , 4F
提到well order那就可以這樣想: 給定整數a,b
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考慮 S={am+bn|m,n整數}. 令d為S中最小的正整數
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任取 S 中元素 t, 考慮除法 t=dq+r 可知 0<=r<d
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r=t-dq 所以 r 也是S中的元素 , 故r=0
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所以 d 整除 S中所有元素,簡單說 d 是a,b的公因數
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但是 d 本身也是S的元素,所以任何a,b的正公因數都要
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整除 d, 所以不能比d大,也就是說d是a,b的最大公因數
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感謝強者們的解答 另外想請問 還有比well ordering更
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基本的證明嗎? 感謝WINDHEAD
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還有風頭大定義的S有沒有要一定am+bn >= 0 有一點我
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解的是為什麼Well order一定要非負整數 包含負整數不
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行嗎?
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負數沒有影響基本上可以不管他,你只看一邊而已
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S的定義就必然會包含一堆正數了....負的不用管他
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因為你實際上是靠係數 m,n 的正負來調節的
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推
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有沒有更基本的我就不懂了,不過你可以看出這個方法
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很迂迴,但反而得到一些更有結構感的東西
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這個故事裡面重要的是S而不是a,b. 有時候不同的a,b
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會給出同樣的S集合....那個S才是重要的
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謝謝WINDHEAD大 我覺得這方法最神奇的就是知道最小的
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正整數就是d 要不然有時候是r 不是很直觀 感覺有點像
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是知道結尾之後 再用一種很神奇看不出所以然的方式寫
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06/04 10:06, , 26F
出來 難怪叫抽象代數XD 另外我的問題是 這個well-ord
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06/04 10:06, , 27F
一定非要 非負整數才行嗎 只要有序的話 不是任何整數
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06/04 10:07, , 28F
集合都應該有效 有一樣的結論吧? 直觀上是這樣
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06/04 10:13, , 29F
well-order只適用於正整數...不過這種抽象的東西可以
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06/04 10:14, , 30F
跳過啦,用直覺想正整數集合一定有最小元素就好啦
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06/04 10:14, , 31F
如果要抽象的話我當初就直接說 S 是a,b生成的理想了
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06/04 10:16, , 32F
嗯... 等我學到那裏再來請教WINDHEAD
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06/04 10:17, , 33F
謝謝WINDHEAD大
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推
06/04 10:23, , 34F
XD
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推
06/04 12:20, , 35F
還是校長的理想呢（誤
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06/04 12:28, , 36F
明明是激進的理想！
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06/04 12:29, , 37F
(其實不是= =)
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11/10 11:54, , 38F
謝謝WINDHEAD大 https://muxiv.com
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01/02 15:26, 7年前 , 39F
會給出同樣的S集合.. https://daxiv.com
01/02 15:26, 39F
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07/07 11:07, 6年前 , 40F
雖然不知道你要的基本證 https://muxiv.com
07/07 11:07, 40F
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