[其他]從笛卡爾到龐加萊 法國數學的人文主義傳統
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從笛卡爾到龐加萊——法國數學的人文主義傳統
蔡天新
在德國數學家高斯的一部傳記中，作者引用了下面這段話：
有一個異鄉人在巴黎問當地人，“為什么貴國歷史上出了那么多偉大的數學家？”
巴黎人回答，“我們最優秀的人學習數學。”
又去問法國數學家，“為什么貴國的數學一直享譽世界呢？”
數學家回答，“數學是我們傳統文化中最優秀的部分。”
笛卡爾以前的法國數學
在中世紀以前，數學的成就主要是在一些文明古國取得的，例如埃及、美索不達米
亞、中國、印度和阿拉伯，當然還有希臘。可以肯定的是，如果沒有希臘人的貢獻，數
學就不會像現在這樣豐富多彩。而在長達一千多年的中世紀里，整個歐洲似乎只有一個
堪稱偉大的數學家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在數學王國里發出光
輝。歐洲之外，最有名的數學家當數巴格達的花拉子密，正是他命名了代數學，在阿拉
伯語里，al-jabr 意為還原移項，譯成拉丁文后就成了 algebra，這也是今天英文里的
代數學。
14世紀是歐洲黑死病流行的時期，毀滅了將近四分之一的人口，數學上取得的成績
也非常可憐。但疾病和戰爭有時候會改變文明的格局，法蘭西開始嶄露頭角，逐漸走在
世界文明的前列。這個世紀最重要的數學家被認為是法國人奧雷斯姆，他寫過五部數學
書，和他的譯文一樣文筆優美，為科學修辭和法國散文作出了貢獻。奧雷斯姆第一個使
用了分數指數，第一個用坐標確定了點的位置，這預示了現代坐標幾何學，影響了包括
笛卡爾在內的諸多數學家。
15世紀開始了歐洲的文藝復興，可是數學進展仍然不大，其時最杰出的數學家是法
國人丘凱，16世紀最偉大的數學家也是法國人。他的名字叫韋達。法國人的數學在文藝
復興之初已達到世界先進水平，正是在那個時期，（現今的）初等數學基本上羽翼豐滿
了。同時，這也為近代數學和科學的全面發展奠定了相對堅實的基礎。
笛卡爾和天才的世紀
在笛卡爾出生以前，意大利人在世界文明的進程中走在最前列，他們在數學和科學
領域也處于領先地位，塔爾塔里亞（口吃者）與卡爾達諾在三次和四次方程的解法研究
上取得了突破，他們兩人的成就合起來不低于同時代的法國人韋達。可是，這兩位同胞
數學家卻相互控告對方剽竊，結果弄得兩敗俱傷。1564年出生的伽利略一直在意大利的
兩所大學任數學教授，他發明的扇形圓規通用了兩個世紀，同時對拋物線性質和無限集
的等價概念有了正確的理解，他的數學天才和直覺幫助其建立起了自由落體的力學定律
。他用自制望遠鏡觀察宇宙，證實了哥白尼的太陽系理論，卻不幸遭到羅馬教會的迫害
，含冤而死。
和大多數天才人物一樣，笛卡爾也出生在小地方。他小時母親病故，身體羸弱，已
另娶妻的父親把他交給外婆撫養，后來又送他進拉弗萊什的一所教會學校。幸虧校長極
有人文修養，看出這個孩子心智和身體上的差異，要他先增強體質。校長告訴小笛卡爾
，除非想去教室和別的同學們在一起，否則不必離開自己的房間。從那以后，笛卡爾終
身保持了晚起的習慣，包括他在部隊當兵時，當他需要思考問題時，就躺在床上冥思苦
想。盡管笛卡爾身體虛弱并愛睡懶覺，卻是個勇敢的軍人，并曾被授予中將軍銜，但被
他拒絕。
笛卡爾在數學上的主要成就是創立了一門數學分支——解析幾何，同時他又被黑根
爾贊譽為“近代哲學之父”。作為一個二元論者，笛卡爾明確地把心靈和肉體區分開來
，其中心靈的作用如同其著名的哲學命題所表達的——“我思，故我在”。而在方法論
上，笛卡爾則是一個徹頭徹尾的懷疑主義者，對他來說，懷疑是一種必要的手段，是哲
學和心理學方法中的一個工具。笛卡爾認為，我們從童年時代起就接受了許多偏見，如
果得不到及時糾正，會持續到成年，他進一步指出，“懷疑是一門藝術，它使我們脫離
感覺的影響獲得解放。”
在笛卡爾時代，他在數學上有好幾位競爭對手。例如，畢生居住在法國南方山區小
城圖盧茲的法官費爾馬，他有著“業余數學家之王”的美號。今天我們大家都知道“費
爾馬大定理”，它是畢達哥拉斯定理（即勾股定理）的推廣和提升，雖然結論截然相反
。直到上個世紀末，這個定理才被英國數學家懷爾斯最后證明了。據說在笛卡爾生前，
他經常接到費爾馬的挑戰，例如宣布發現某某數學規律卻不告之證明方法，這些挑戰有
的是以書面的形式提出，有的是通過一位叫梅森的神甫傳達。說起這個梅森神甫，雖然
算不上是偉大的數學家（僅以梅森素數命名），卻是17世紀法國數學不可或缺的人物。
還有一位是帕斯卡爾，據說帕斯卡爾12歲那年，從未受過相關訓練的他獨自推導出了幾
何學中的一條定理，即三角形的三個內角和等于兩個直角之和。從那以后，父親才開始
教授兒子歐幾里德幾何，不久父子倆一同參加了梅森神甫組織的數學沙龍。帕斯卡爾的
主要數學成就包括概率論的創立（與費爾馬合作）、二項式系數和射影幾何學中的帕斯
卡爾定理（圓錐曲線的內接六邊形三組對邊的交點共線）。
除了數學上的成就以外，帕斯卡爾還發明了計算機（初衷是為了幫助父親進行稅務
方面的計算）、流體壓力定律（水壓機便是這個定律的一個應用），計算機中的帕斯卡
爾語言和天氣預報中的大氣壓強單位帕均取自他的姓名。而在人文和哲學領域，帕斯卡
爾取得了同樣非凡的成就。他的散文作品《思想錄》被公認為是所有法國文學中的珍品
，在宗教方面，他宣揚可以通過心靈而不是通過理性來體驗上帝的教義，他建立的直覺
主義原理對于后來盧梭、實用主義和存在主義哲學家都有影響。
在達到盛名之后，帕斯卡爾和笛卡爾不約而同地選擇了隱居生活。笛卡爾說過，“
我只要求安寧和平靜”相比笛卡爾和帕斯卡爾的多才多藝，費爾馬把自己的聰明才智全
部奉獻給了數論。這當然與費爾馬有著自己的職業、需要養家糊口有關，但我認為更重
要的是，費爾馬與高斯、歐拉這三個對數論有杰出貢獻的數學家，他們已經從數論之美
中獲得了滿足，因此不怎么需要尋求諸如藝術、哲學或宗教的滋養。從畢達哥拉斯時代
人們就沉湎于發現數的神秘關系，優美、簡潔、智慧是這門科學的特點。記得希爾伯特
的傳記作者在談到大師放下代數不變量理論轉向數論研究時寫到，“數學中沒有一個領
域能夠像數論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量——吸引著數學家中的精華。”
畫家康定斯基也認為：“數是各類藝術最終的抽象表現。”
從費爾馬到龐加萊
自從費爾馬于1665年去世后，法國數學界有半個世紀的沉寂，之后從17世紀20年代
開始，接連誕生了一批數學大師，幾乎每隔七八年就有一位，他們中的每一個都成就非
凡，如果放在其他國家里，都可能成為該國歷史上最偉大的數學家。而法國人也是以此
為傲，其中的七位數學家，分別是達蘭貝爾、拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、蓬斯萊、柯
西和伽羅瓦。
“在天才的伽羅瓦去世二十多年以后，法國又誕生了一位大數學家，他就是新近因
為以其名字命名的猜想獲得解決而重新引起全球公眾矚目的龐加萊，他的才華和成就橫
跨了科學與人文兩大領域。龐加萊被認為是通曉全部數學與應用數學知識的最后一個人
，他涉足的研究領域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。
龐加萊出生在法國東北部小城南錫，父親是一位著名的醫生。龐加萊的超常智力不
僅使他接受知識極為迅速，同時擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教
導，卻不幸在五歲時患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語表達思想。但
他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，且能準確持久地記住讀
過的內容。小龐加萊擅長的科目包括文學、歷史、地理、自然史和博物學，他對數學的
興趣來得比較晚，大約開始于15歲，不過很快顯露出非凡的才華。不久，他被保送到巴
黎綜合工科學校（就是伽羅瓦兩次報考未被錄取的大學），開始了他的數學生涯。
龐加萊的哲學著作包括《科學與假設》、《科學的價值》和《科學方法論》，他是
唯心主義約定論哲學的代表人物，認為公理可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以
實驗事實為依據，避開一切矛盾。正是由于這些成就的取得才使他既當選為法蘭西科學
院的院士（后成為院長），又當選為法蘭西學院的院士，他同時處身于科學和人文兩座
金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術家和科學家之間創造力的共性，相信“只有通過科學與
藝術，文明才體現出價值”。
中國有望成為真正的數學大國
需要指出的是，本文提到的半數法國數學家與巴黎綜合工科學校結緣，而另一座同
樣誕生于法國大革命期間、校名也同樣謙遜的巴黎高等師范學校則在上個世紀培養了八
位菲爾茲獎得主。可以說，正是笛卡爾以降法國數學家擁有的人文素養，使得數學在法
國長盛不衰。值得一提的是，這一良好的氛圍也熏陶了滯留巴黎的德國人萊布尼茨，他
從一個肩負外交使命的秘密使臣一躍成為大數學家和大哲學家，他那轟動一時的微積分
學便是在巴黎期間發明的。萊布尼茨的出現標志著德意志民族在世界文明史上的真正崛
起，同時也使得法國數學又多了一個強有力的競爭者。而布爾巴基學派的誕生，便是迫
于德國數學后來居上的壓力和形勢之下。
反觀中國，雖說西漢時期有了《周髀算經》和《九章算術》，南朝時祖沖之對圓周
率的估算領先世界一千多年，卻限于實用性的計算而忽視公理化建設和理論推導。近代
以來，由于缺乏對外交流，中國和整個東方數學未跟上時代的腳步。等到國門重開，終
于意識到自己的落后，擺在我們面前的困難重重。這里面當然有機制和學風的因素，不
過我相信，如果我們的數學工作者年輕時多一些人文修養，盛年之后能把一部分精力轉
向哲學思考或研究，及時探討數學的未來和外延。如同本文引言所說的，把數學看成是
傳統文化的一部分，而不是作為敲門磚或謀取名利的手段，我們的數學事業就會興旺發
達，數學研究和人才培養就會成為一種有序的制度，中國也有望成為真正的數學大國。
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