[拓樸] Topological manifolds

看板Math作者 (willyliu)時間12年前 (2013/05/05 20:03), 編輯推噓16(16推 0噓 61→)
留言77則, 8人參與, 6年前最新討論串1/1
我想問的問題也許有點奇怪. 一個differentiable manifold 上可以任意給一個metric, 成為riemannian manifold 於是就可以在上頭解ODE, PDE, 有Hodge theory, index theory, gauge theory等理論. 裡面有些作法是在一個manifold上面加上一些結構, 於是能夠限制manifold的行為. 適當地減少manifold的automorphism, 然後在一個class中取極特殊的元素作代表, 這個代表可能有很好的性質(equicontinuous之類的). 問題是一個topological manifold上面可能沒有微分結構, 這樣的話是否就沒有類似Hodge decomposition(在某個cohomology theory)的結果了? 或者它還有其他代數的方法給一個Hodge structure? 另一方面, 有沒有可能在任意的topological manifold上給個結構來控制automorphism? 小弟才疏學淺, 不曉得為何在算數幾何或代數幾何中, 能夠討論Hodge theory. 然而在代數拓樸中, 至少在topological manifold或CW-complex中 卻少有類似的討論(或者說只是我不知道.) 此外, 有沒有一本使用代數幾何語言與觀點撰寫的代數拓樸參考書? 我很好奇為何很難找到一本使用sheaf, ringed space, Grothendieck topology 等語言詮釋代數拓樸的書. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.24.59
推
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因為代數拓樸不是代數幾何
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推
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代數幾何使用了代數拓樸的方法來研究幾何
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推
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你先嚴格定義一下你心中的"代數拓樸"是什麼吧?
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我心中的代數拓樸不太需要幾何
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topological manifold是代數拓樸中，一類性質比較好
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的拓樸空間。而代數拓樸研究的拓樸空間是任意的
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雖然代數幾何中的scheme, variety都是拓樸空間
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這類的拓樸空間都比較特別，拓樸是指定Zariski top
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如同TASS說的~通常代數拓樸研究的拓樸空間並不一定
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需要"幾何"
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那我應該說, 我想討論的空間只是topological manifold的話, 有沒有模仿幾何的方法. 例如, 在研究二維closed manifold的分類時, 會使用微分結構, 儘管分類的是拓樸流形 這是因為任意surface都有微分結構, 所以在使用上會方便很多. 有額外結構的話, 能夠用Morse theory, 還有Riemann surface的結果. 這些結果能反回去得到其原本純粹的拓樸性質. 就像Hodge decomposition也能夠得到純粹拓樸的結果一樣 (例如Poincaré duality能夠用Hodge decomposition來證明)
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只是當你的拓樸空間句有幾何結構時，你可以問說
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你拓樸學上定義的不變量跟你拓樸空間所定義出來的幾
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何有何關聯。
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這時候，Hodge theory，index theory才開始扮演角色
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然而你單純的從拓樸空間出發去定義不變量
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不需要任何幾何結構
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有的時候, 想拿幾何結構並不是因為要定義拓樸不變量來區分不同的空間 而是為了說明二種空間相同. 例如, 為了說明simply connected的closed 3-manifold 都是sphere, 會給它微分結構和metric, 然後在上面做Ricci flow. 講得precise一點, 看R這個constant sheaf, 或是singular cohomology以R為係數 假設我給了一個在cochain level的inner product, 那麼是否能有一個對應的Hodge decomposition? 當然, 在一個topological manifold上無法定義de Rham complex, 所以我覺得有可能的方法是在另一種cohomology下的decomposition 當然, 這種decomposition應該會depends on某個選擇(就像Hodge分解會依賴於metric)
推
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推上面, 然後我不大懂你的問題. 結構越多能討論的就
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越多, 代數幾何的結構那麼強當然很多東西就可以做啊
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代拓讚的地方就在於他不需要很多的幾何假設
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但是我想說的就是, 假如能夠給一個幾何的結構, 就能使用幾何與分析的方法研究拓樸 得到的結果可能是個純粹的拓樸結果. 我想問的其中一個問題就是, 有沒有一種結構是“任意topological manifold”都能有的 而且能夠在上面apply分析方法的結構. (雖然這種說法我自己都覺得有點虛幻飄渺...)
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你要 Grothendieck topology 的話至少可以看 etale
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cohomology
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※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 22:39)
推
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你問的問題太vague。
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本來我是想要問一問, 搞不好有這樣一們學問, 只是我不知道.
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雖然top manifold沒有de Rham但都是用singular coho
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你有幾何讓你推到一些拓樸結論，這類的拓樸都有些限
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制。可能在某些情況，你還可以證明這些拓樸來讓空間
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具有微分結構。你Hodge定理亙是存在於某種幾何空間中
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基本上正是因為幾何的特殊性，才讓它的拓樸
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具有某種好的性質。
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嗯, 我也了解有幾何結構本身就已經有很好的性質了. 但是反之, 沒有幾何結構的manifold, 就只能用純粹的代數拓樸方法嗎? 我原本心中想的是, 也許有些結果是沒有微分結構的manifold同樣也能有一些性質, 只是因為沒有微分結構, 所以不太好研究. (當然這只是我自己的猜測) 例如, 有不存在微分結構的四維流形, 難道這樣就表示不可能classify四維流形嗎?
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反之，給定一般的拓樸空間，你在沒有幾何的情況下，
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你想要的 Hodge theory可能是不存在的
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即使是具有幾何結構好了，compact跟noncompact就差
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很多了
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我最初想這件事情, 是因為我發現自己無法用代數拓樸來造homeomorphism 想要造homeomorphism between manifolds, 好像只能用Riemann surface uniformization 來造. 因為拓樸中的一串continuous map很難能夠收斂, 不像holomorphic map那樣 感覺代數拓樸有點無力(攤), 大部分的時候只能說二個流形不一樣, 而說不出何時一樣. ※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 23:07) ※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 23:10)
推
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蠻有趣的問題,我想想看...
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※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 23:21)
推
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話說代數拓樸本來就不是為了"製造homeomorphism"而
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生的,代數拓樸的動機是"製造non-homeomorphism"
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推
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因為代數化的本質是看 homotopy equivalence
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嗯對, 這好像應該叫geometric topology?
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推
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對阿,比方說4維流形,沒有微分結構的話就看PL結構
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推
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老實說流形的定義不就是局部歐式嗎, "歐式"這件事情
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就不是純粹代數拓樸的條件了,我不太懂為什麼你一定要
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要求用純拓樸的方法來刻劃homeomorphism? XXDD
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歐氏XD 超過拓樸但不及微分幾何的東西嗎？有的話
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一定很有趣吧！
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像是Hölder/Lipschitz structure可能會是一種
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但也不是所有manifold都能有這種結構
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推
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holomorphic map的性質太特別...所以複流形
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可能需要更加抽象的方式來建構更一般的幾何結構
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的範疇才會非常特別
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你還是可以看 PL(piecewise linear)結構, 不過我不是
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這方面的專家...不懂
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PL的結構已經不算太差了XD基本上就是把它想成用
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simplices貼起來的東西
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不過方法都還是用singular homology或是類似的
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Borel Moore homology
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嗯, 複流形非常rigid.
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代數拓樸理面我們所建構的代數不變量
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但是riemannian manifold也有harmonic map這樣的東西
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能決定的拓樸不變量並不能回去決定原空間的拓樸
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通常你得到的只是非常小piece的東西
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也因為這樣，所以代數拓樸的工具就很多
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而代數拓樸所研究的拓樸空間的對象就比較廣
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通常有個具體的問題去問你需要甚麼東西去解決
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會比只是單純的問"甚麼結構拿來幹嘛"會好點
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在數學歷史的上，通常都是有個數學問題，為了解決
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這問題，才發展某些數學理論。通常不會沒有理由得隨
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推
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這篇釣到好多大魚
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意推廣。因為你所推廣出來的數學未必有用
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感謝板上各位大師的解釋, 讓我增長了些知識.
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推
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其實我本來以為他想問的是非交換幾何
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沒什麼結構的topological manifold, 比一大堆結構的scheme和variety還難掌握. 我覺得自己對一個Hausdorff manifold這樣簡單的物件都了解極少. 就連S^4中挖掉一個S^3是什麼樣子都說不出來, 只知道它有二個component. 所以有一些想在topological manifold上面多給些較弱的幾何結構, 這樣天馬行空的想法 也許還是去多讀些代數幾何比較實際吧? 拓樸太困難了? ※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/06 07:30)
推
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結構很多也只是比較rigid,能問的問題其實非常多
05/06 13:08, 70F
推
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至於S^4挖掉S^3是什麼? 四維的東西本來就沒辦法
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有符合直觀的想像啦~~~不用這麼傷心吧XD
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人類發展數學本來就是為了衝出直觀感官的限制
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推
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拓樸跟代數幾何發展的方式不太一樣~~
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11/10 11:45, , 75F
能決定的拓樸不變量並不 https://daxiv.com
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需要"幾何" https://daxiv.com
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07/07 10:58, 6年前 , 77F
而代數拓樸所研究的拓樸 http://yofuk.com
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