[幾何] degree-genus formul & branched cover

看板Math作者 (凝結的時間)時間11年前 (2013/04/18 05:35), 編輯推噓13(13推 0噓 65→)
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今天在教小朋友怎麼證 degree-genus formula of projective plane curves g=(d-1)(d-2)/2 課本(Kirwan: complex algebraic curves)整個是土法煉鋼 euler number 全部用 triangulation 算, for any genus Riemann-Hurwitz formula 用 lift of triangulation, 偏偏又要非常 precise 整個證了好多頁讓我好頭痛 偏偏小朋友們大多沒學過拓樸, 複變和微分幾何 所以對我亂切的 triangulation 和 從 branch cover curve -> P^1 lift triangulation 感到疑惑和不滿 @@, 我想問的是, 大家學 algebraic curves 的時候都把所有東西學過了才學嗎 然後把所有東西都證的好好的嗎 @@ 還有如果我要說明 branched cover 在 ramification locus 地方長得像 z-> z^n 除了用複變以外, 可以用純拓樸的方法說為什麼嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.247.39.234
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我比較好奇的是ramification locus這樣有剛性的概念
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能有拓樸式的定義嗎?
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推
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如果有學過代數數論的話應該會比較好懂(逃~)
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ramification index 是 curve (F=0)和偏微分 F_y=0
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的交點..假設 C->P^1 是 (x,y,z)->(x,z)
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說錯, 的intersection multiplicity 這是拓樸的
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但是 兩條 curves 當然可以扭來扭去...
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推
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純拓樸的方法指的是?其實複變的方法應該還蠻普遍的?
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推
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印象中~~Riemann Hurwitz formula用複變比較好證
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推
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如果你要不用H^0(C,K)去定義"光滑"的代數曲線的genus
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就回到最原本定義genus的方法(triangulation)
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那麼證明就會寫的很長
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而關於Riemann Hurwitz-formula關鍵應該還是在
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甚麼叫做holomorphic map的degree
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光滑流形map的degree就有幾種不同觀點且等價的看法
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所以如果你開心可以用differential form去算
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既然locally map長的相z->z^n..所以pull back map on
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differential form也很好算
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所以還是單純看你是怎麼定義genus...degree這種東西
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genus 是用拓樸定的, 就說curve 畫成拓樸曲面一定
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會是某個 genus g 的曲面...所以還是要回到三角化
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degree 是用curve 交 fiber 的解重數定的, 算代數
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關於流形我們什麼都沒講...除了定義
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因為這課是代數幾何啊!!!
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pull back on differential form 不錯...
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推
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所以你的genus degree formula是給smooth curve的
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有singularities公式要多點東西唷XD
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那時候你的genus定義就更麻煩一點
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如果純粹用代數去定義genus..證明就比較沒那麼麻煩
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應該說~~就可以避免使用triangulation去講
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推
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我覺得要繞過複變蠻不容易的耶,因為這不就表示我可以
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用純拓樸的語言來重寫複變函數論的基礎嘛XD
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複數平面也是代數曲線呀XD
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我的degree-genus formula 的確是給 smooth curve 的
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不一定全部重寫啊, 這只是一個 special case
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或者是說, 我從無到有的教代數曲線好累,
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學生"只懂" varieties, 連sheaf 和 cohomology 都沒
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這樣到底要怎麼教比較好XD
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推
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定義Kahler differential不需要sheaf, cohomology
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反正你是取global section H^0(C,K)
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所以你就是取module of kahler differential of k(C)
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k(C)指的是C的function field。
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接著你就是利用local ring是DVR應該就可以去得到
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推
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Kahler diff 對他們來說可能更難懂@@", 如果已經知道
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上面那些東西f*(dz)=...所以可以用來算degree
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微分工具的話,可能用 Gauss-Bonnet 來詮釋就好了
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還好啦Kahler differential可以有代數的定義XDDD
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既然學過module了你就用module generated by "dz"
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mod some relation去定義module of Kahler diff over
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function field. 所以他就是一個module而已
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只是你把複變的語言全部換成交換代數而已
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推
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Hmm姐有沒有考慮用全古典的方式來講代數曲線 @@"
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而且定義出來的module都是一些vector space over ***
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過一陣子應該會講 Kahler differential
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剛開始只是覺得應該把各種不同的看法都講一講玩一玩
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畢竟講 h^0(K)=g 不講拓樸實在空虛
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而且我也講得蠻開心的, 只是不曉得學生受不受得了
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只是感覺他們的 math maturity 還沒到欣賞這些東西
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全古典是什麼啊?
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推
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比方說要講 27 lines on cubic surface, 就取一個
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推
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我還以為Winhead講的是講黎曼面哩XD
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參數族把它變成退化的曲面,這樣可以"解釋"為什麼27條
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阿 我的古典指的是是玩弄多項式....XD
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推
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學生應該會覺得很好玩吧XD? 可是大概也會講得很累
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推
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我覺得講黎曼面還不錯...缺點就是需要複變而已
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而且Hodge 定理有簡單的方法講，這種方法需要微分
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幾何...
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我講了把 degree d curves 退化成 d 條直線
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然後perturb 一下說得到 genus g 的 surface
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只是要說好 perturbing 一點點不影響 topology會麻煩
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其實我一直覺得 27 lines on cubic surface 沒什麼用
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我也覺得那個沒什麼用 just for fun
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哎但是我不是做代數幾何...所以我的意見僅供參考啦XD
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08/13 17:34, , 74F
有singularit https://noxiv.com
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09/17 15:27, , 75F
不一定全部重寫啊, 這 https://daxiv.com
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11/10 11:40, , 76F
ramificatio https://daxiv.com
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01/02 15:21, 5年前 , 77F
既然locally m http://yofuk.com
01/02 15:21, 77F
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07/07 10:53, 4年前 , 78F
function fi https://noxiv.com
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