[線代] 廣義特徵向量的幾何意義

看板Math作者 (精彩不亮麗)時間13年前 (2013/02/11 20:28), 編輯推噓1(1推 0噓 21→)
留言22則, 5人參與, 6年前最新討論串1/1
as title 是一個觀念問題 具有廣義特徵向量的例子從 2 維空間起就找得到 e.g.[1 2] 畫在座標平面上 [0 1] 這個算子代表的就是「切向形變」 http://en.wikipedia.org/wiki/Shear_mapping 易知它有一個特徵向量 [1]、一個廣義特徵向量[0] [0] [1] 然而此處廣義特徵向量究竟有什麼幾何意義呢？ 又，能否提供3維空間、2個廣義特徵向量的例子的幾何看法呢？ 小的在網路上找了很久，都只找到關於計算方法的資料.... 感謝解答！ -- ╱╲ ▅▃▁∫(real＊seagreen)dt▁▃▅ ╱￣ ____ ╱ ╲ ╲ ____ ╱ ╭─╮ ｜ ◢◣◢◣ ｜ ╭─＊ ╲ ─── ╱╲ ╭─╮╭─╮ ╱ ｜''｜ ｜ ████ ｜ ｜''｜ ╲ ｜ ｜｜''｜｜''｜ ╲ ╰┬╯ ｜ ◥██◤ ｜ ╰┬╯ ╱ ─── ╲╱ ╰┬╯╰┬╯ ╲ ╰╮ ｜ ◥◤ ｜ ╰╮ ╱ ╰╮ ╰╮ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.255.97.117
推
02/11 23:35, , 1F
我只知道 有些計算需要足夠的特徵向量才可運算時
02/11 23:35, 1F
→
02/11 23:35, , 2F
特徵向量若不足 則需要找廣義特徵向量
02/11 23:35, 2F
→
02/11 23:36, , 3F
例如需要用矩陣相似轉換解聯立ODE時 就需要過渡矩陣
02/11 23:36, 3F
→
02/11 23:37, , 4F
若特徵值有重根時 有可能造成特徵向量不足
02/11 23:37, 4F
→
02/11 23:37, , 5F
就需要使用廣義特徵向量來代入
02/11 23:37, 5F
→
02/11 23:37, , 6F
且其對角化的矩陣即是Jordan form的形式
02/11 23:37, 6F
→
02/12 23:33, , 7F
這我當然曉得：廣義特徵向量跟特徵向量一起構成全空
02/12 23:33, 7F
→
02/12 23:34, , 8F
間的basis。但是為什麼一定要找廣義特徵向量？
02/12 23:34, 8F
→
02/12 23:35, , 9F
而不能是其他跟特徵向量線性獨立的任意向量？
02/12 23:35, 9F
→
02/12 23:35, , 10F
反正只要能夠生成全空間就好了....
02/12 23:35, 10F
→
02/13 20:59, , 11F
因為使用那組basis能夠使這個map的結構變得很清楚
02/13 20:59, 11F
→
02/13 20:59, , 12F
Jordan form的block相當於把vector space分解
02/13 20:59, 12F
→
02/13 21:00, , 13F
而這個map作用在那些subspace上的方式都很簡單
02/13 21:00, 13F
→
02/13 21:01, , 14F
以代數的語言, Jordan form就是把V這個F[x]-module
02/13 21:01, 14F
→
02/13 21:03, , 15F
拆成一些cyclic module的direct sum
02/13 21:03, 15F
→
02/13 21:10, , 16F
至於說為什麼要用這個form, 這要看用途啦
02/13 21:10, 16F
→
02/14 22:54, , 17F
謝謝樓上....看來是要懂代數才能理解了
02/14 22:54, 17F
→
08/13 17:27, , 18F
間的basis。但是為 https://noxiv.com
08/13 17:27, 18F
→
09/17 15:20, , 19F
反正只要能夠生成全空間 https://daxiv.com
09/17 15:20, 19F
→
11/10 11:25, , 20F
我只知道 有些計算需要 https://daxiv.com
11/10 11:25, 20F
→
01/02 15:16, 7年前 , 21F
//daxiv.com https://noxiv.com
01/02 15:16, 21F
→
07/07 10:38, 6年前 , 22F
以代數的語言, Jor https://noxiv.com
07/07 10:38, 22F
‣ 更多 realtemper 的文章
文章代碼(AID): #1H6EFfu6 (Math)