[線代]向量空間

看板Math作者linshihhua (linshihhua)時間13年前 (2012/12/28 23:54)推噓5(5推 0噓 15→)

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向量空間若為有限維度，則定義出來的任何范數所誘導出的拓撲是相同的，請問該如何證明? (If V is a finite-dimensional vector space, then all norms on V define the same topology.) 就是由norm ||‧||定出metric, d(x,y)=||x-y||, 然後再由metric定出open ball B_r(x)={y in V| d(x,y)<r} 然後再由open ball定出開集合然後形成topology 也就是所有的開集合形成一個topology 想問就是在有限維下的向量空間，任何的norm所造出的topology是否相同? 若相同則該如何證明? 另外所有的m*n階矩陣所形成的向量空間維度是m*n嗎？還有若向量空間的維度是無限維，則有辦法定義內積使他成為一個內積空間嗎? 感謝解惑。 -- ● ● 李ㄆㄧㄚˋ眉頭一皺! ◢███◣ ████ ◢████◣ ◢ ██ ◣ 驚覺南方公園早被停播! ▂▂▂▂▂ ◢████◣ ██████ █◤ ◥█ 深深覺得黑棒一定不清純! ㄟˇㄏ◤ █ ㄟˇㄏ █ ㄟˇㄏ █ㄟˇㄏ█ 原創 ψindiaF4 Happy ㄧ..ㄧ █ ㄧ..ㄧ █ ㄧ..ㄧ █ㄧ..ㄧ█ ψdiabloq13 Push ◥ /︷\ ◢ ◥ /︷\ ◤ ◥ /︷\ ◢ ◥.◣◢.◤ 改圖 ψfreefrog Doll -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.128.127.71

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