[微積] Superposition of solutions

看板Math作者 (YOOOOOOOOOOOOO)時間13年前 (2012/12/28 18:26), 編輯推噓9(9推 0噓 12→)
留言21則, 4人參與, 6年前最新討論串1/1
目前正在讀laplace equation，有個範例是： Uxx + Uyy = 0 D = {(x,y)∈R^2 : -∞ < x < ∞, y > 0 } U(x,0) = f(x), -∞ < x < ∞ 假設 U = X(x)Y(y) ∴X''/X = - Y''/Y = - λ < 0 最後解出 X(x) = Acos[(√λ)x] + Bsin[(√λ)x] Y(y) = C*exp(√λy) + D*exp(-√λy) 並且令 √λ = ω 代入邊界條件 可知C=0 總之最後變成了 U(x,y) = exp(-ωy)[A(ω)cosωx + B(ω)sinωx] 我不懂的是以下這段： In order to satisfy the initial condition, U(x,0) = f(x), we shall use superposition of solutions, but, since every nonnegative value of ω is permissible, we shall form an infinite integral ∞ ∫ exp(-ωy)[A(ω)cosωx + B(ω)sinωx] dω | = f(x) 0 y=0 不知道為什麼會出現dω，而且因為ω是連續實數，使我不知道該怎麼用 之前Σ的概念，每個ω相對應的U(x,y)乘上任意常數後都要被加在一起， 最後才等於f(x)。簡單來說，就是我在這例子中沒看見以前學的線性疊加的影子.. 拜託各位幫幫我 謝謝了O.O... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.25.108
推
12/28 20:51, , 1F
請問是zill的題目嗎
12/28 20:51, 1F
不是耶！
推
12/28 21:01, , 2F
是不是因為解是呈現傅立葉基積分形式 才要用連續的
12/28 21:01, 2F
→
12/28 21:01, , 3F
去表示f（x）
12/28 21:01, 3F
我也希望是這樣，我之前學傅立葉時就是這樣推導的 可是這本書卻不是這樣寫的o.o...所以我很困惑=.=
推
12/28 21:06, , 4F
傅立葉積分的w定義於0無限
12/28 21:06, 4F
這本書是從歷史角度介紹傅立葉級數的書，所以目前這小節還沒有 提到傅立葉的積分形式...換句話說，是先有那些論述，才有傅立葉積分、轉換的
推
12/28 21:08, , 5F
他答案不是就這樣解嗎@@？
12/28 21:08, 5F
不懂你的意思 那幾行論述並沒有用到傅立葉積分、傅立葉轉換的概念 我的意思是，若這題用傅立葉轉換的角度去解釋，那就是倒果為因了 因為是有了這題，解出答案後，才有傅立葉轉換、傅立葉積分的出現
推
12/28 21:11, , 6F
不然這樣想，因為w=landa開跟號 所以任意正實數都可
12/28 21:11, 6F
然後呢 為什麼要乘上dω呢 根據線性組合的概念，由於Uxx+Uyy=0是線性方程式，所以... 我會覺得答案應該寫為 令 u(x,y,ω) = exp(-ωy)[A(ω)cosωx + B(ω)sinωx] 所以 U(x,y) = C1*u(x,y,ω1)+C2*u(x,y,ω2)+ ... +Cn*u(x,y,ωn) 然後 n -> 無限大 但是這樣很怪 因為實數具有稠密性..............
推
12/28 21:13, , 7F
又剛好每個w對應的解互相獨立
12/28 21:13, 7F
→
12/28 21:14, , 8F
類似用基底去展開一個特解
12/28 21:14, 8F
對 我很希望是那樣的“感覺” 可是當我寫出上述用基底展開一組解的式子後，就覺得很怪
→
12/28 21:16, , 9F
dw是因為連續函數做內積 ！？
12/28 21:16, 9F
很想這麼解釋，但是我不知道它背後的理論基礎是什麼.. 總之這一切讓我覺得很怪 這是所謂的內積空間嗎？
推
12/28 21:18, , 10F
那我也不是很清楚呢 拍謝@@ 理論不夠深厚
12/28 21:18, 10F
OH MY GOD 我查wikipedia看到了希爾伯特空間.... 在數學領域，希爾伯特空間又叫完備的內積空間，是有限維歐幾里得空間的一個推廣， 使之不局限於實的情形和有限的維數，但又不失完備性（而不像一般的歐幾里得空間 那樣破壞了完備性）。與歐幾里得空間相仿，希爾伯特空間也是一個內積空間，其上 有距離和角的概念（及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空 間還是一個完備的空間，其上所有的柯西列等價於收斂列，從而微積分中的大部分概 念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項 式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的 核心概念之一。希爾伯特空間是公設化數學和量子力學的關鍵性概念之一。
推
12/28 21:19, , 11F
那組解是一個complete orthogonal func所以可以用來
12/28 21:19, 11F
其實我對complete的定義不太確定，我記得它的前提就是要能夠成為任意函數的基底 （？），也就是說，有一個正交函數的集合{f1, f2, ... }，若這集合可以成為任意 函數的基底，那麼這集合稱為complete orthogonal function sets????
→
12/28 21:20, , 12F
你是數學系的嗎！？@@
12/28 21:20, 12F
不是@@" 內積空間是我很期待能學到的學問，不過我還沒學到=.=
推
12/28 21:24, , 13F
我看的zill沒有細講完整性，只有說明一下所以我也不
12/28 21:24, 13F
→
12/28 21:25, , 14F
是很懂
12/28 21:25, 14F
恩，我有讀過zill跟...另一本，也是工程數學，工程數學都寫的很工程=.= 我不太適合讀那種書，我想知道為什麼，所以就找別本書來讀嚕
→
12/28 21:26, , 15F
另請高明解惑！xd
12/28 21:26, 15F
我想等我讀完Friedberg的線性代數，應該就懂囉 不過如果有高手能在我不太熟稀內積空間的情況，讓我瞭解為什麼，那我會很感激! ※ 編輯: k0185123 來自: 140.112.25.108 (12/28 21:27)
→
12/28 22:01, , 16F
積分就是一種疊加ˊˋ連續頻譜的疊加
12/28 22:01, 16F
→
08/13 17:21, , 17F
那我也不是很清楚呢 拍 https://muxiv.com
08/13 17:21, 17F
→
09/17 15:15, , 18F
不然這樣想，因為w=l https://daxiv.com
09/17 15:15, 18F
→
11/10 11:14, , 19F
傅立葉積分的w定義於0 https://muxiv.com
11/10 11:14, 19F
→
01/02 15:12, 7年前 , 20F
那我也不是很清楚呢 拍 https://daxiv.com
01/02 15:12, 20F
→
07/07 10:27, 6年前 , 21F
//muxiv.com http://yofuk.com
07/07 10:27, 21F
‣ 更多 k0185123 的文章
文章代碼(AID): #1GtNEzvb (Math)