Re: [線代] 矩陣多項式

看板Math作者Annihilator (> No LOVE (%))時間13年前 (2012/12/25 14:20)推噓2(2推 0噓 4→)

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※ 引述《wsx02 ()》之銘言： : A是n*n的實矩陣 : (A-I)(A-9I)(A-16I)=O : 2 2 : 找一個矩陣 B = aI+bA+cA 使得 B =A, 求a,b,c : 我用令一個二次多項式的方法找到的a,b,c不是很好看 : a = 144/120 - 48/56 + 36/105 : b = -25/120 + 51/56 - 40/105 : c = 1/120 - 3/56 + 4/105 : 不知道算的是不是正確的? : 請問有人知道好的方法解這題嗎? : 謝謝觀察 O = (A-I)(A-9I)(A-16I) = A^3 - 26A^2 + 169A - 144I = 144A[(1/144)A^2 - (26/144)A + (169/144)I] - 144I = 144[(1/144)A^2 - (26/144)A + (169/144)I]A - 144I 因此 A 可逆且 A^-1 = (1/144)A^2 - (26/144)A + (169/144)I = [(1/12)(A-13I)]^2 目標找到 B = aI + bA + cA^2 使得 B^2 = A = [A^-1]^-1 = {[(1/12)(A-13I)]^2}^-1 根據Minimal polynomial性質, 13 不是 A 的特徵值, 因此 (1/12)(A-13I) 可逆又 O = A^3 - 26A^2 + 169A - 144I = (A-13I)(A^2-13A) - 144I 所以 [(1/12)(A-13I)]^-1 = (1/12)A^2 - (13/12)A + 0I 故可令 B = 0I - (13/12)A + (1/12)A^2, 此 B 即為所求. -- ～by Jackary P.～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 60.248.164.22

推

herstein

12/25 16:51, , 1^F

12/25 16:51, 1^F

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Annihilator

12/25 17:00, , 2^F

12/25 17:00, 2^F

推

wsx02

12/25 21:17, , 3^F

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