[機統] Stirling公式裡的π

看板Math作者jurian0101 (Hysterisis)時間11年前 (2012/12/08 16:36)推噓9(9推 0噓 7→)

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(*斗膽轉自個版*) 由二項式分布推到高斯分布的關鍵是Stirling's formula 詳見爆好文，「自然語言處理」博客站主的「正態分布的前世今生」一文 http://goo.gl/7sKjH Stirling's formula的導出有很多方法，知道正確形式會簡單一點是為教科書法，棣美弗先生 De Moive當初是怎麼證的還需考證一番可能是類似這樣吧 http://www.sosmath.com/calculus/sequence/stirling/stirling.html 其實只要到 n Log[n] - n < Log[n!] < (n+1) Log[n+1] - n 這一步就可以看出來 n! ~ 某比例常數* (n/e)^n 的形式了而有點骯髒(dirty)的慢慢湊形式方法在下個連結，微吐槽是這麼醜的算法還敢在結語寫說登山一步步辛勞，途中看到了美景......算了。 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_17_2_05/index.html Stirling公式最為神秘迷人的地方是π莫名其妙地亂入了關於這個π是怎麼來的，解釋有百百款。大致上 1. 用到Wallis無窮連乘積，如上面某個連結所謂Wallis乘積是 http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product 用到Sin[x]/x的無窮連乘積展開，這又跟歐拉解 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 無窮和的「小賤招」是同一招，所以由Sin[x]/x變連乘積的公式冠以Euler-Wallis之名 http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem **Basel問題中 n=2的值，也就是 1 1 1 1 1 π^2 ---+---+---+---+---+... = ------ 1 4 9 16 25 6 也莫名其妙有個π 費曼先生表示: 誰人來告訴我圓在哪裡! 詳細證明歐拉的方法有效的是Weierstrass Factorization Theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem 看到大牛名字就預料到這要用到複分析領域的定理。簡單來說對於複平面上的全純函數 (holomorphic function)可以拆成連乘積，在複數域。總之在Striling證明過程出現的連乘積，套用Euler-Wallis equation就跑出√π了好像沒有很基本、很自然、很優雅，簡直像意外或人為湊出來的。 2. 一個波蘭數學奧匹題目引出的小意外 Knuth’s “Why Pi” Talk at Stanford: Part 1 http://apetresc.wordpress.com/2010/12/28/knuths-why-pi-talk-at-stanford-part-1/ 哇哇哇是高德納題目是：「有沒有可能，對兩顆骰子採用灌鉛處理，使得擲出點數和是2~12的機率完全一致？」有興趣可以拿去算。反正Knuth在講題裡報告的是，原作者Johan Wästlund在解這題時靈光一現藉由它硬是把Stirling formula -- 其實是Catalan number C[n]~ 4^n * n^(-2/3) / √π 跟圓扯上了關係。這樣感覺還是很巧合很人為嗎，我也這麼覺得XD 總之高德納表示，π「不過是」一族特殊曲線 x^α + y^α = r^α 中 α=1/2 的特殊情形而已。大師的看法甚是 3. Gamma函數的歷史最後一個解釋Stirling理的√π是用Γ(1/2) = √π，不過這也只是把疑惑變成為何Gamma函數會有π而已 (倒) (導出Γ(1/2) = √π，過程 = 變數變換，轉成高斯積分) 話說回來，又名Euler's integral of the second kind 的 Gamma函數到底為何會長成今天這個樣子，其淵源以及剛好在整數值取n!，與Beta函數的關連，複分析的重要(?)地位都蠻少有人討論的，例如，最早提出積分形式 ∫x^(n-1) e^(-x) dx 的人是？這篇有詳盡歷史 Why is the gamma function so as it is? Detlef Gronau (2003) http://www.uni-graz.at/~gronau/TMCS_1_2003.pdf 這個函數的誕生史，牽扯到的數學家有 Christian Goldbach: 對整數取值函數內插成實數取值函數的研究。跟Euler通信。 Daniel Bernoulli: 跟Euler同在聖彼得堡的麻吉，提出最早的一個連乘積形式。 John Wallis: 歐拉知道他對於π與連乘積的研究，其中有一個含sin的積分形式跟今日 gamma變數代換成sin一模一樣。 Leonhard Euler: 集大成，提出上面有的沒有的公式等價，還算出Γ(1/2) = √π 他也提出"第一類Euler積分"等於今日的Beta函數 1 Β[x,y] = ∫ t^(x-1) (1-t)^(y-1) dt 0 上述數學歷史探源，作者猜想說Euler之所以要做一個奇怪的平移 Γ(n) = (n-1)! 而不是Γ(n) = n!，可能是為了遷就Gamma與Beta函數一個形式上很漂亮的關係 Γ[x] Γ[y] (x-1)! (y-1)! B[x,y] = -------------- = --------------- 你看寫成階乘就沒有那麼漂亮惹 Γ[x+y] (x+y-1)! (真是醬?) 最後是 Adrien-Marie Legendre: 在其橢圓函數專著裡介紹了Euler的結果，重要的是Γ的記號是他引進的 (*勒讓德先生竟然一幅傳世的肖像都找不到，只能被迫用了漫畫家的滑稽肖像---超好笑 .....話說回來這對一位大數學家有點杯具*) Carl F. Gauss: 把gamma函數寫成連乘積並作了推廣，超越Bernoulli或Euler之處在於 Gauss考慮了gamma函數在複數的取值。 Karl Weierstrass: 如同前述對於無窮連乘積複分析等等(天書)做出一個奠基的動作XD ------ 額外的連結數學家瓦歷斯 http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis 數學家肖像大全 http://photo.163.com/fqmsgzssx@126/#m=1&aid=182671803&p=1 Legendre散佚的臉孔 http://www.ams.org/notices/200911/rtx091101440p.pdf SOSMATH: The Gamma Function http://www.sosmath.com/calculus/improper/gamma/gamma.html Emil Artin: The Gamma Function http://www.plouffe.fr/simon/math/Artin%20E.%20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).pdf 某數學家對於Γ函數在負偶數(解析延拓後複數平面上)取值為無限大很不滿，因此提出了「更好的Gamma函數」(看不懂) http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.213.88

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ntust661

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WalterbyJeff

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