Re: [微積] 精華區sinx/x的積分解法的疑惑
這個瑕積分交換其實算是很不明顯的：
作法如下
所求 = 積分(0,無限大) 積分(0,無限大) sinx exp -xt dt dx
= lim(r→無限大) 積分(0,r) lim(s→無限大) 積分(0,s) sin x exp -xt dt dx (定義)
= lim(r→無限大) lim(s→無限大) 積分(0,r) 積分(0,s) sin x exp -xt dt dx (*)
= lim(r→無限大) lim(s→無限大) 積分(0,s) 積分(0,r) sin x exp -xt dx dt (Fubini)
= lim(r→無限大) 積分(0,無限大) 積分(0,r) sin x exp -xt dx dt (定義)
= lim(r→無限大) 積分(0,無限大) [1-(sin r-cos r)exp -rt]/(1+t^2)dt (硬算!)
= 積分(0,無限大) lim(r→無限大) [1-(sin r-cos r)exp -rt]/(1+t^2)dt (**)
= 積分(0,無限大) 1/(1+t^2) dt = pi/2
(*)和(**)都是用LDCT
具體來說：
(*):
|積分(0,s) sin x exp -xt dt| <= 積分(0,無限大) exp -xtdt = (1 - exp -x)/x
，而積分(0,r) (1-exp -x) / x dx 有限
(**)：
|[1-(sin r-cos r)exp -rt]/(1+t^2)| <= 3/(1+t^2)
，而積分(0，無限大) 3/(1+t^2) dt 有限
我不知道有沒有不用硬算那步的作法
※ 引述《Joshua0000 (千葉傳奇)》之銘言：
: 這是數學版上的版友提供的解法
: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
: ∫sinx/x dx = ∫sinx {∫exp(-xt)dt} dx = ∫ {∫sinx exp(-xt) dx} dt
: 0 0 0 0 0
: ∞ |∞
: = ∫1/(1+t^2)dt = arctan(t)| = pi/2
: 0 |0
: 讓我感到疑惑的點是第二個等號積分互換的問題
: 因為兩個ｉｍｐｒｏｐｅｒ積分互換得要處理很多的limit互換跟limit積分互換
: 是否有一個簡單的理由或定理告訴我們第二個等號這個互換是顯然的?
: 想了很久想不太出來...
: 煩請各位高人解答 謝謝
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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◆ From: 219.85.85.162
推
11/19 02:03, , 1F
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