Re: [微積] Cauahy convergence criterion

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間13年前 (2012/11/15 23:42)推噓5(5推 0噓 20→)

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※ 引述《rebe212296 (綠豆冰)》之銘言： : The sequence {Zn} is convergent : iff. : given any ε>0, : there exists an integer N=N(ε)>0 such that |Zm-Zn|<ε for all m,n>N : 以上是定理敘述, 由左到右的證明我OK, 但是由右到左的證明我把課本上的 : 最後一部分證明改了一點，不知道有沒有寫錯, 請問有沒有好心人願意幫我看 : 前半段和原始證明一樣 : Proof: : Conversely, Suppose the seq. Zn satisfies the Cauchy convergence criterion. : Choosing ε=1, there exists an integer N(1)>0 such that |Zn-Zmo|<1 : for all mo>N(1). : Then |Zn|=|Zn-Zmo+Zmo|≦|Zn-Zmo|+|Zmo|<1+|Zmo| : Let M=max{|Z1|, |Z2|,..,|Zmo|,1+|Zmo|} : Then |Zn|≦M. : Thus, {Zn} is a bounded seq.. : By the Bolzano-Weierstrass Thm, {Zn} has at least one limit point, : 從這裡開始, 我要證明{Zn}只有唯一一個極限點你的{Zn}是數列還是集合?? 因為B-W定理是說有界數列必存在一收斂子列可是你課本卻是寫 {Zn} has at least one limit point 這很像是考慮一個集合S={Zn} 說他至少有一個極限點(集合極限點的定義) 我是沒看過集合版本的B-W定理拉 : Let α and β are two limit points of two subseq.{Zni}, {Zmj} of {Zn} : such that lim Zni=α lim Zmj=β. : Then for any ε>0 there exists an integer N(ε/3)>0 such that : |α-β|=|α-Zni+Zni+Zmj-β-Zmj|≦|α-Zni|+|Zni-Zmj|+|Zmj-β|<ε/3+ε/3+ε/3=ε. : we have α=β. : 接著我要證明如果一個數列只有一個極限點, 那此數列為收斂數列. 看到你這句我70%確定你是把數列看成一個集合了... 那你極限點的定義是什麼?? 因為像是a_n = 1,-1,-1,-1...... 收斂到-1 b_n = 1,-1,-1,.... 不收斂這兩個看成集合的形式都是{1,-1} 如果你的極限點是訂成集合的定義則這個集合沒有極限點所以你的極限點定義應該不是針對寫成集合形式而訂的而是如果L是a_n的極限點代表存在一串a_n的子列收斂到L : Claim: If a convergent seq. has only one limit point ~~~~~~~~~~ 寫錯了?? 都收斂了當然所有子列都收斂到這個值何來"then the limit of the seq. exists." : then the limit of the seq. exists. : Proof: : Let α be the limit point of {Zn}. : Then for any ε>0 , |Zn-α|<ε, for all integers n. : Thus, for any ε>0 , there is an integer N(ε)>0 : such that |Zn-α|<ε, for all n>N(ε). : We have lim Zn=α, that is the seq. converges. : 證明完畢一般來講，實數有公設(有上(resp.下)界集合必存在最小上(resp.大下)界) 所以先證B-W定理：(證法參考下面) 1.任何一個數列一定存在一個單調子列 2.一個有界數列看成集合後，依據實數公設，存在最小上界與最大下界因此，如果從1.選到的是遞減的子列，可以證明他收斂到最大下界同樣的，如果1.選到的是遞增的子列，可以證明他收斂到最小上界因此證出了B-W定理再來要證你的converse 1.歌西列必有界 2.根據B-W定理，存在一收斂子列 3.利用此收斂子列與歌西列的條件，證出原數列收斂到該子列的收斂值 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.171.18.74

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rebe212296

11/16 00:26, , 1^F

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rebe212296

11/16 00:27, , 2^F

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rebe212296

11/16 00:28, , 3^F

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rebe212296

11/16 00:29, , 4^F

11/16 00:29, 4^F

應該是for any ε>0 ,存在N_ε,使得|Zn-α|<ε, for all n>=N_ε

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rebe212296

11/16 00:30, , 5^F

11/16 00:30, 5^F

講"極限"比較不會混淆因為這就是數列極限的定義

推

rebe212296

11/16 00:37, , 6^F

11/16 00:37, 6^F

我是不會用到拉看你自己 ※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.18.74 (11/16 00:52)

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rebe212296

11/16 00:57, , 7^F

11/16 00:57, 7^F

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rebe212296

11/16 00:57, , 8^F

11/16 00:57, 8^F

limit =/= limit point ※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.18.74 (11/16 01:03)

推

mathphysics

11/16 08:42, , 9^F

11/16 08:42, 9^F

推

THEJOY

11/16 13:55, , 10^F

11/16 13:55, 10^F

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znmkhxrw

11/16 14:43, , 11^F

11/16 14:43, 11^F

我剛剛看了一下，數列版本的B-W定理感覺比較強因為從數列版本的可以推到集合版本的(P.S.) 可是集合版本的推不到數列版本的，因為像是a_n=1,-1,1,-1... 把a_n看成集合後只有{1,-1}，可是a_n確實有收斂子列 P.S. Apostol P.54的集合版本B-W定理： <如果S是R^n的有界集合，且S的元素有無限多個，則S的極限點非空集合> pf：S元素無限多個，任挑一組每項不相等的數列a_n 因為a_n有界，所以藉由數列版本的B-W定理，必存在一組收斂子列a_nk收斂到L 因為a_n每項不相等，所以a_nk亦每項不相等，所以L是S的極限點 By the way,我之前講的步驟是證R^1的數列版本B-W定理,而R^n也是對的！ (上面的pf就是用R^n的數列版本B-W定理) 也就是說,R^n中的有界數列必含有收斂子列證明： 1.a_k寫成(a1_k,a2_k,...,an_k) 則對於每個i=1~n,ai_k是R^1的有界數列 2.藉由R^1的數列B-W定理，a1_k存在收斂子列a1_kj→L1€R^1 再來考慮a2_kj,它是a2_k的子列,亦有界,所以存在收斂子列a2_kjj'→L2€R^1 注意a1_kj已經收斂到L1了,a1_kjj'又是a1_kj的子列，所以a1_kjj'→L1€R^1 接下來仿造一樣的步驟處理剩下的n-2條就可以了 ※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.4.93 (11/16 16:48)

推

THEJOY

11/16 17:36, , 12^F

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THEJOY

11/16 17:37, , 13^F

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znmkhxrw

11/16 17:38, , 14^F

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