[線代] 線性映射+方程組解的維度
有兩個關於線代的問題想請教板上的諸位高手:)
1.
linear transformation T is invertible(nonsingular)
if and only if T is 1-1&onto.
那這麼說，inverse-T也會是1-1&onto嗎？
我覺得反過來想inverse-T is also invertible, 所以
inverse-T也會是1-1&onto，但是不很確定(因為手邊資料沒有相關的性質證明甚麼的），
想說來這邊確認一下。
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2.
一題關於方程組和維度的問題:
In a homogeneous system of 5 linear equations in 7 unknowns,
the rank of the coefficient matrix is 4. What is the maximum number of
independent solution vector?
Solution:
The dimension of the solution space of a matrix always is given by
the number of unknowns less the rank of the matrix, therefore, 7-4=3.
我解讀這個解法的方式是，從linear transformation角度解釋，
從其對應的矩陣(coefficient matrix is 5 by 7)判斷，T: V(七維)->(W)五維。
solution space of a homogeneous system相當於是kernel space,
用nullity(T)+rank(T)=dim(V),
則nullity(T)=dim(V)-rank(T)=7-3.
我自己在看解答前的想法是：
5 rows, 7 columns.Rank=4,
所以做列運算到最後，有四列非零而且independent,
表示七個未知數中，有三個未知數是用來表達解的。
比如x1, x2, x3, x4 can be expressed in terms of x5, x6, x7
因此 x5, x6, x7是三個free variables, 因此maximum number of independent solution vector is 3.
但是我對自己的想法有個地方不是很有信心，因為我不知道
如果一個矩陣rank=4, 那是不是不管是做列運算或是行運算，
都可以得到4個獨立的列或是4個獨立的行。
不知道我解釋解答的解法對不對？還有我自己最開始的想法對不對？
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這是第一次自學線代 (因為想考的研究所要考線代)
但有些東西卻不是很確定，不好意思麻煩大家幫忙了
謝謝~~
※ 編輯: ssss50201 來自: 108.3.154.49 (11/04 06:05)
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