Re: [分析] 實變函數可測問題...@@!
※ 引述《mathphysics (風的浪漫)》之銘言：
: 我是新手XD，
: 我覺得有一件事情很奇怪，
: 那就是
: 定理(zygmund textbook)
: If f_k is a sequence of measurable functions on measurable set E
: where f_k is extened real-value function,
: then if lim f_k exsit a.e.,it is measurable as k → infinitely...
: 問題是
: lim f_k 不一定是well-definited吧!?
所以題目的前提是"if lim f_k exsit a.e"
如果你的lim f_k每個點都不存在沒有意義，那麼你當然就無法討論lim f_k
是否可測。
題目的意思是說:存在一個測度為零的集合Z使得對任意Z外的x
lim_k f_k(x) 均存在。
所以你在Z的外面，你可以定義出一個函數f(x)使得
f(x)=lim_k f_k(x).
因為Z是一個測度為零的集合，所以你可以把函數f擴充至整個測度空間X上。
怎麼定義不唯一。只要你爽，你可以定義
f(x) = c, x\in Z
=lim_k f_k(x), x不屬於 Z
題目要你證明f是可測函數。基本上不管你f在Z上怎麼定義，
你都可以得到一個可測函數。在測度空間中，如果兩函數f=g a.e.
我們就把這兩個函數看成是同一個(等價類)，因此我們不去區別"a.e.
"相等的可測函數。所以一個函數如果在一個測度為零的集合上沒意義，
你可以利用原函數定義出一個新的函數讓他在測度為零的集合上有意義，
而在此集合外等於原函數。"函數在單點上的定義是甚麼"對測度論來說
一點也不重要，因為你把該函數取積分後，那個點就看不見了(如果可積
單點的値不影響積分值)。
: 假設有一點a打過去...
: f_1(a)=1 ,f_2(a)=2,f_3(a)=1,f_4(a)=2.....
: lim f_k(a) do not exsit...as k → infinitely...
: 所以limf_k(x) 就不是函數(因為他沒有well-definite)
: 可是理論的發展先有函數，作者再定義函數可測的觀念...
: 既然它可能不是函數，為什麼定理說他會可測(可測觀念定義再函數上面)呢!?
: 感謝各位版大@@!
: ※ 引述《mathphysics (風的浪漫)》之銘言：
: : 我看的是zygmund的實變書!!!
: : 其中有一個定理是這樣寫的
: : If f and g are measurable function,
: : then so is f+g...
: : 我想問的是
: : zygmund中指的函數f and g 都是extend real valued function
: : (i.e. 負無窮大<=f(x),g(x)<=無窮大)
: : 可是
: : 這個定理我覺得怪怪
: : 因為萬一
: : 有一點由函數f跟g分別打過去為無窮大跟負無窮大
: : 這樣相加是未定義的...
: : 所以f+g就不是函數....
: : 竟然不是函數
: : 就不是可測(因為可測函數是定義函數上面的...)
: : 這個定理是不是寫錯了阿!!??
: : 感謝版大^^!!
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推
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