[代數] (Zn)^x is cyclic ?

看板Math作者 (馬琳巴)時間13年前 (2012/04/23 12:02), 編輯推噓4(4推 0噓 18→)
留言22則, 5人參與, 最新討論串1/1
(Z/nZ)^x 就是把0挖掉 if n is prime 他會是一個cyclic group 對 multiplication.. 這該怎麼證明? 初步想法是說，只要可以找到ㄧ個element的order是n-1就完了.. 可是該怎麼找呢? 如何證明一定有這樣的一個element呢? 不要用Z/pZ 是一個field這種觀點喔 單純從group的觀念出發~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 68.48.173.107
推
04/23 12:06, , 1F
a^{p-1}≡1 mod p
04/23 12:06, 1F
→
04/23 12:09, , 2F
如果可以用上面這條件 我就不用煩惱了.. XDD
04/23 12:09, 2F
推
04/23 12:11, , 3F
不能用費馬小定理喔XD
04/23 12:11, 3F
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04/23 12:13, , 4F
我只能知道每個元素的ord都是p-1的因數 ,that's all
04/23 12:13, 4F
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04/23 12:16, , 5F
不，我應該說，就算每個elt的p-1次方=1也不足以說明
04/23 12:16, 5F
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04/23 12:16, , 6F
他是cyclic
04/23 12:16, 6F
推
04/23 12:24, , 7F
04/23 12:24, 7F
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04/23 12:46, , 8F
不太理解那個證明~~ @.@
04/23 12:46, 8F
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04/23 13:48, , 9F
"abelian group" + "x^n=e has at most n solutions"
04/23 13:48, 9F
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04/23 13:48, , 10F
simply imply it's cyclic
04/23 13:48, 10F
x^n=e has at most n soln 這句話如何得到? 一般R^n 空間的話 我同意~~ 我想到的是Klein four group 裡面有三個elements order是2 如何解釋(Zp)^x裡面不會有這種現象?
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04/24 04:01, , 11F
Zp is a field
04/24 04:01, 11F
這個題目是Herstein裡面的習題，出在Hard，Largrange theorem那邊.. 理論上是不可以用field的觀念去做，應該單純用group的觀念就可以證明出來 ※ 編輯: marimba1 來自: 68.48.173.107 (04/24 09:32)
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04/24 09:39, , 12F
....good luck
04/24 09:39, 12F
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04/24 09:42, , 13F
(Z/n)* is abelian iff n=p^k or n=2p^k..
04/24 09:42, 13F
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04/24 09:42, , 14F
you somehow need to use property of prime
04/24 09:42, 14F
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04/24 09:43, , 15F
更正cyclic
04/24 09:43, 15F
S大是說 (Z/nZ)* is cyclic iff n=p^k or 2p^k !!! 長知識了~~ 請問哪本書上有阿? 如果這個定理對了，那當然我問的問題也被包含裡面了 只是要怎麼證明阿? 我問的問題，在field裡面,等價於證明field裡面一定有一個primitive root 可是實在是不想用後面的東西來證明前面的東西嚕... 如我所說這是Herstein在group 範圍內的習題~~ ※ 編輯: marimba1 來自: 68.48.173.107 (04/24 13:16)
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04/24 13:52, , 16F
在體上, n次代數方程最多有n個根, 是高中的東西
04/24 13:52, 16F
問題是herstein出這習題的地方 並未有field的概念啊~ 他不會假設你懂field的
推
04/24 18:34, , 17F
數論裡面有證說模n下有原根iff n=1,2,4,p^k,2p^k...
04/24 18:34, 17F
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04/24 18:35, , 18F
這是對 Z_n* 而言 (與 n 互質的數s)
04/24 18:35, 18F
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04/24 18:35, , 19F
不過這不像是代數的東西...
04/24 18:35, 19F
其實是等價的~ suh大你說的跟Sfly大說的定理是等價的 ※ 編輯: marimba1 來自: 68.48.173.107 (04/25 12:26)
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04/25 18:23, , 20F
su寫的是完整結果 (p為奇質數)
04/25 18:23, 20F
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08/13 16:48, , 21F
不過這不像是代數的東西 https://muxiv.com
08/13 16:48, 21F
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09/17 14:44, , 22F
09/17 14:44, 22F
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