[線代] 關於idempotent matrix的問題
要證明idempotent matrix ( i.e M^2 = M )的
trace( M ) = rank( M )
我的想法和找到的資料拼湊出下面的證明流程
1. 先證明出idempotent matrix的eigen value = 1 or 0
2. 證明 rank(M) = nonzero的eigen value之數目
這一步我就有點小問題了
我是利用維度定理: rank + dimN(M) = n (M is n by n matrix)
我認為dimN(M)會 >= number of zero eigenvalue
因為Mx = "0"x , 因此e.v = 0對應到的eigen vector會落在M的null space內...
但是我必須確定dimN(M) = # of zero eigenvalue才能證明[2]
3. 證明M是可以對角化 M = QAQ^(-1)
--> tr(M) = tr(QAQ^-1) = tr(AQQ^-1) = tr(A) = sum of eigen values
= # of e.v 's (因為e.v = 1 or 0)
4. 因此rank(M) = tr(M)
想請大大幫我看看這套證明有沒有邏輯上的瑕疵...
還有我對"2."的疑問.....
因為有些時間沒有碰linear algebra了
所以有些基本觀念沒有很熟
謝謝
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04/20 03:36, , 1F
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