[微積] 造一個可以微分無窮多次的函數

看板Math作者 (delta)時間13年前 (2012/04/15 00:55), 編輯推噓4(4推 0噓 17→)
留言21則, 8人參與, 最新討論串1/1
1, x>1 f(x)= 0, x<0 定義f(x)在[0,1]上的值使得f(x)無限次可導 試了好久弄不出來 還請會的人給點提示 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.24.172.125
推
04/15 01:08, , 1F
看不太懂 題目不就是定義了嗎?
04/15 01:08, 1F
推
04/15 01:13, , 2F
缺少[0,1]這一段的定義 要自己訂使整個f(x)無限可微
04/15 01:13, 2F
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04/15 01:20, , 3F
定義 f(x) = e^(-1/x^2 + 1), x/=0 ; 0, x = 0
04/15 01:20, 3F
推
04/15 02:01, , 4F
樓上提出了最重要的關鍵:http://tinyurl.com/cuhgfr5
04/15 02:01, 4F
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04/15 02:03, , 5F
但如果只有這樣，f(x)在x=1處一階左導數不為0，不合
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04/15 02:06, , 6F
以x=0.5為點對稱中心，在x=1處再放上一個同形式函數
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04/15 02:09, , 7F
參考答案：分成四個區段定義：f(x)=0 當 x<=0 ；
04/15 02:09, 7F
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04/15 02:10, , 8F
f(x) = 0.5*e^(4-1/x^2)，當 0 < x < 0.5 ；
04/15 02:10, 8F
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04/15 02:11, , 9F
f(x) = 1 - 0.5*e^(4-1/(x-1)^2) ，當 0.5 <= x < 1
04/15 02:11, 9F
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04/15 02:12, , 10F
f(x) = 1 當 x >= 1。可驗證 x=0.5 處亦為無窮可微。
04/15 02:12, 10F
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04/15 04:04, , 11F
其實用 e^(-1/x) 和 e^(-1/(1-x)) 來造似乎就足夠了
04/15 04:04, 11F
推
04/15 09:40, , 12F
上禮拜上泛涵才在上這個 Rudin用很可怕的方式做...
04/15 09:40, 12F
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04/15 13:09, , 13F
可以用隨便一個無限可微的R->(0,1)函數和
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04/15 13:09, , 14F
(0.5 + 0.5 arctan(x))合成
04/15 13:09, 14F
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04/15 13:12, , 15F
講錯是無限可微的(0,1)->R函數
04/15 13:12, 15F
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04/15 13:55, , 16F
重點似乎是：在x=0這點，f的各階右導數都必須為0吧
04/15 13:55, 16F
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04/15 13:57, , 17F
同理在x=1這點，f的各階左導數也要全為0(樓上不夠?)
04/15 13:57, 17F
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04/15 22:12, , 18F
感謝樓上提醒我的做法會讓 f 在 x=1 上的導數不存在
04/15 22:12, 18F
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04/18 22:57, , 19F
謝謝大家
04/18 22:57, 19F
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08/13 16:47, , 20F
重點似乎是：在x=0這 https://noxiv.com
08/13 16:47, 20F
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09/17 14:43, , 21F
//tinyurl.c https://daxiv.com
09/17 14:43, 21F
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