Re: [機統] 請問一下關於pascal random variable
剛好寫到作業@@ 也是卡住上來看到這篇文
後來有推出來 就PO上來 希望能幫助到以後的人
※ 引述《wayne1229 (wayne)》之銘言：
: 請問一下要怎麼推出
: ∞ x-1 k x-k
: Σ C p (1-p) = 1
: x=k k-1
: 好像是把
: x-1 k-1 x-k+1
: C = (-1) C
: k-1 k-1
: 但是推到一半就卡住了，而且也不太懂為什麼要這樣換
: 謝謝
其實把那個C換出來 (Negative binomial coefficient) 就差不多了
∞ x-1 k x-k
Σ C p (1-p) = 首先做參數變換 讓x從0開始 即把x-k換成x
x=k k-1
∞ x+k-1 k x
Σ C p (1-p) = 然後把變換後的C展開
x=0 k-1
∞ (x+k-1)! k x
Σ ---------- p (1-p) = 分子分母同除以(k-1)!
x=0 x!(k-1)!
↓共 x 項
∞ (x+k-1)(x+k-2)...(k) k x
Σ ------------------- p (1-p) = 我覺得最tricky的地方...分子每項都
x=0 x! 拉出一個(-1)
∞ x (-k)(-k-1)...[-k-(x-1)] k x
Σ (-1) ------------------------- p (1-p) = 現在分子變成-k往下數x項
x=0 x! 補到1使其為階乘
∞ x (-k)(-k-1)...[-k-(x-1)](-k-x)! k x
Σ (-1) ------------------------------- p (1-p) = 變成C的形式
x=0 x!(-k-x)!
∞ x (-k)! k x x+k-1 x -k
Σ (-1) --------- p (1-p) = 所以得到了C =(-1) C
x=0 x!(-k-x)! k-1 x
↑整個證明最重要的就在推這個...
後面就很簡單了
你的證明或許也可以直接用這個結論 看情況
∞ x -k k x x x x
Σ (-1) C p (1-p) = (-1) 和 (1-p) 剛好可以合併成 (p-1)
x=0 x
∞ -k k x x
Σ C p (p-1) = 把不受參數影響的p 拉出去
x=0 x
k ∞ -k x -k-x
p Σ C (p-1) = 補一個 1
x=0 x
k ∞ -k x -k-x
p Σ C (p-1) 1 = 後面這個東西就變成了 1-p 和 1 的二項展開
x=0 x
k -k
p [1+(p-1)] = 大功告成 親個嘴兒
k -k
p p = 1
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※ 編輯: e2167471 來自: 140.112.244.74 (04/02 03:14)
推
04/02 07:10, , 1F
04/02 07:10, 1F
當然不是囉>< 我覺得換C實在太tricky了~
我是直接拿C換好之後的結論下去證的 至於C的換法 我就是抄的了
只是說因為覺得這證明比較難想 就PO上來~
※ 編輯: e2167471 來自: 59.104.190.103 (04/02 21:45)