[微積] 2/π∫_0^∞ sin(xt)/t*e^(-t^2)dt
之前板上看到的 想回文不過找不到了
2 ∞ sin(xt) -t^2 x 2 x/2 -t^2
題目：證明 ---∫ ---------e dt = erf(---) = ---∫ e dt
π 0 t 2 √π 0
2 ∞ sin(xt) -t^2
寫 y(x) = ---∫ ---------e dt
π 0 t
2 ∞ -t^2 -2 ∞ -t^2
則 y' = ---∫ cos(xt)e dt, y'' = ----∫ t sin(xt)e dt
π 0 π 0
寫 u = e^(-t^2), dv = cos(xt)dt, 則 du = -2te^(-t^2)dt, v = sin(xt)/x
2 -t^2|∞ 4 ∞ -t^2 2
=> y' = -----sin(xt)e | + -----∫t sin(xt)e dt = ---(-y'')
πx |0 πx 0 x
-x^2/4 __
=> y''/y' = -x/2 => y' = Ae , 代 x = 0 可知 A = 2/√π
2 x/2 -t^2
=> y = ----∫ e dt + C, 代 x = 0 可知 C = 0
√π 0
x
∴ y(x) = erf(---)
2
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推
06/18 23:43, , 1F
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