Re: [中學] 虛數不能比較大小

看板Math作者dogy007 (dogy007)時間14年前 (2011/11/04 18:35)推噓2(2推 0噓 12→)

留言14則, 7人參與討論串1/5 (看更多)

※ 引述《mathsun (數戰數決)》之銘言： : 因為虛數不能比較大小, : 所以 -3+4i < 3+4i 是錯的? : 是因為 i 不能出現在不等式裡面嗎? : 有一題建中段考考古題(單選題): : 設z與w是複數﹐且 (z^2)+(w^2)<0﹐則下列敘述何者正確? : (1) (z^2) < -(w^2) : (2) z與w都是虛數　 : (3) z與w恰為一實數一虛數　 : (4) z與w中至少有一個是虛數　 : (5) z與w中至少有一個為實數 : 詳解為: ∵z與w是複數﹐又(z^2)+(w^2)<0 : ∴有以下三種可能: : (a) (z^2)<0 : (b) (w^2)<0 : (c) (z^2)<0 且 (w^2)<0 : 即z與w中至少有一個是虛數 : 故答案為 (4) : 但(1)錯在哪裡? 詳解並沒說明,以下的反例是對的嗎? : 取 z=1+2i, w=1-2i : 則 (z^2)=-3+4i, (w^2)=-3-4i : 滿足 (z^2)+(w^2) = -6 < 0 : 但 -3+4i < -(-3-4i)=3+4i 是錯的 : 即 (z^2) < -(w^2) 是錯的 : 因為虛數不能比較大小,這樣的解釋對嗎? : 難道 -3 < 3 => -3+4i < 3+4i 是錯的? : 可是 (-3+4i)+(-3-4i) = -6 < 0 就是對的? : 麻煩解惑,或解釋選項(1)為何錯誤,感謝! 這個詳解很奇怪，為什麼 (z^2)+(w^2)<0 就會有 (a), (b),(c) 三種可能？難道不能是 z^2, w^2 都是複數，所以 (a), (b), (c) 都不成立你舉的 z= 1+2i, w=1-2i 不正是如此嗎？正確的說法應該是反證法，如果 z,w 都是實數, 則 z^2 > 0, w^2 > 0 所以 z^2 > 0 , w^2 >0 , z^2 + w^2 >0 得到矛盾所以 z,w 至少有一是虛數另外我們說複數不能比較大小，比較正確的說法是在複數上，我們無法定義出一個次序，滿足一些我們想要的良好性質，所以一般選擇不定義比如說，如果我定義 z > w 若且唯若 |z| > |w| 這樣的定義會出現 1, 和 i 不滿足 1 > i, 也不滿足 1 < i , 當然 1 也不等於 i 所以沒有三一律如果我定義 a+bi > c+di, 若且唯若 a > c 或 a = c, b > d 這樣我們有三一律，但是 1 > 2i, 但 |1| < |2i| 這樣的次序定義，和我們心目中希望 |.| 代表某種長度的希望相牴觸另一個看法上，如果我們希望在複數上定義次序我們通常會希望保持實數上次序的一些良好性質如 z > 0, w >0 => zw > 0 又如 z > 0 => -z < 0 但是不管我們定義出 i > 0, 或者 i < 0 都無法同時滿足前面兩個要求如 i > 0, i*i > 0, -1 > 0 , 出問題了如 i < 0, -i > 0, (-i)*(-i) > 0 , -1 > 0 一樣出問題所以基本上我們不在複數上定義次序 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.132.177.99

→

dogy007

11/04 18:36, , 1^F

11/04 18:36, 1^F

→

dogy007

11/04 18:37, , 2^F

11/04 18:37, 2^F

→

dogy007

11/04 18:38, , 3^F

11/04 18:38, 3^F