[工數] 關於高階微分方程
前情提要:
變係數高階微分方程
有一降階法
方法是先觀察出一解y1(x)
然後令y2(x)=u*y1
接下來將y2(x)微分一次到數次不等
帶回原ODE求解u
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問題-共有三個疑問:
遇到一非齊次ODE
xy''-xy'+y=x^2
書本上的解答解說
先觀察出一解y1(x)=x
然後令y2(x)=u*y1=u*x
我的第一個疑問有點沒意義的感覺QAQ
但是還是想請教
y1(x)=x不是齊次解嗎
這樣代進去 等號右邊(x^2)被強迫為零 心裡總覺得怪怪的
還是就把齊次解當解 直接算下去就好了呢(不是特解或通解看起來比較符合ODE嗎= =)
第二個問題
那如果有一天又遇到非齊次變係數高階ODE
但觀察出的是特解
那也是照著算嗎?
第三個問題是最想問的ˊˇˋ
關於此ODE
書上的解答表示: 利用降階法同時直接得到了特解，真是一石二鳥也。
(因為他算y2同時算出了 齊次解的y2加上一特解 即y2=(含未知數的齊次解+特解) )
問題來了
那為何之前解常係數高階ODE
假設得到yh=c1*cosx+c2*sinx
不直接令y1=cosx
然後用一樣的方法令y2=u*y1
不就可以直接得到特解?
何必用常係數時的變異係數法(意同降階法)令yp=u1*y1+u2*y2
然後還要forcing condition
解一堆聯立方程式或是朗斯基
我照此試了一題常係數
但沒成功QAQQ
懇請高手賜教
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