[分析] 實數的基數

看板Math作者 (士官長)時間12年前 (2011/10/27 14:28), 編輯推噓0(0推 0噓 12→)
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想請問如何證明 [0,1]間的實數和全部的實數一樣多呢?? 常常看到很多證明要證S跟實數一樣多的時候 就會說因為[0,1]間實數和實數一樣多 所以只要證S和[0,1]一樣多就好 但是都把這件事當作已知 沒有寫出過程 想請好心人幫忙或是告訴我網路上哪裡有這個證明 多謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.45.172.226
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10/27 16:44, , 1F
證明很簡單，我們只要證明 [0,1] 不比實數少
10/27 16:44, 1F
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10/27 16:46, , 2F
f(x) = (x/(1+|x|))/2 將 R 1-1 映射到 (0,1)
10/27 16:46, 2F
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10/27 16:47, , 3F
又打錯了f(x) = (1 + x/(1+|x|))/2
10/27 16:47, 3F
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10/27 20:22, , 4F
非常感謝D大的證明
10/27 20:22, 4F
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10/27 20:24, , 5F
想請問這樣做出來是(0,1)還是[0,1]呢?
10/27 20:24, 5F
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10/27 20:30, , 6F
因為雖然當R夠大的時候x/1+x會是1 需要特別證嗎?
10/27 20:30, 6F
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10/27 22:17, , 7F
是 (0,1), 不過 |R| >= |[0,1]|, |[0,1]| >= |R|
10/27 22:17, 7F
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10/27 22:18, , 8F
就得到 |R| = |[0,1]|
10/27 22:18, 8F
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10/27 22:21, , 9F
另一做法是再造一個 (0,1) 映到 [0,1] 1-1 對映
10/27 22:21, 9F
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10/27 22:22, , 10F
如r_1, r_2,... 為 (0,1) 中所有有理數
10/27 22:22, 10F
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10/27 22:23, , 11F
考慮 g(r_1)=0, g(r_2)=1, g(r_n) = r_(n-2), n>3
10/27 22:23, 11F
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10/27 22:23, , 12F
g(x) = x for 無理數
10/27 22:23, 12F
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