Re: [中學] 類似柯西題目
※ 引述《nissanj (nissan)》之銘言：
: 題目條件~
: a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
: a+b+c=7
: 求3a+2b+c=?
: 答案是14....
: 我試圖用過柯西不等式但是算出來的答案不對....
: 有請各位神人幫忙了~
: 感謝~
設 3a+2b+c = k
與 a+b+c = 7 聯立, 得
b = k-7-2a
c = 14-k+a
代入第一式:
0 = a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
= (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)
= 49-3[a(k-7-2a)+(k-7-2a)(14-k+a)+a(14-k+a)]
= 9a^2 + a(84-9k) + (343-63k+3k^3)
a 是實數, 故
(84-9k)^2 ≧ 36(343-63k+3k^2)
即
k^2-28k+196 ≦ 0
唯一解 k=14.
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