作者 iHakka (iHakka) 看板 Math
標題 [線代] 3維直角坐標的旋轉矩陣計算
時間 Sun Sep 25 12:53:08 2011
沿著(0,0,0)→(1,1,1)也就是<1,1,1>的方向順時針旋轉120度
問說x,y,z會跑去哪裡,並求出旋轉矩陣
作者: JohnMash (Paul) 看板: Physics
標題: Re: [問題] 計算剛體角速度向量
時間: Wed Apr 27 12:27:46 2011
※ 引述《sm008150204 (風切羽狂)》之銘言：
: 3
: Show that in R the rotation around the unit vector
: v = [a,b,c] by angle θ is
: [a^2 ab ac] [ 0 c -b]
: Q = cosθ I + (1-cosθ)[ ab b^2 bc] - sinθ [-c 0 a]
: [ ac bc c^2] [ b -a 0]
:
: = cos I + (1-cosθ) A - sinθ B
設初始 行向量 是 U=[x,y,z]^t (t表示轉置)
則 U 在 v 上的投影向量是 W=(U.v)v=(ax+by+cz)[a,b,c]^t
=[a b c]^t [a b c][x]
[y]
[z]
=A.U
且 A_{km}=vk vm (此處 v1=a, v2=b, v3=c)
則 R=U-W=U-A.U=(I-A).U 是作平面旋轉θ角 (這是關鍵)
令 N = v ×R = v ×(I-A).U
則 Ni=ε_{ijk} vj (I-A)_{km} Um
= ε_{ijk} vj Uk - ε_{ijk} vj vk vm Um
= ε_{ijk} vj Uk
= P_{ik} U_k
則 P_{ik}=ε_{ijk} vj
P11= P22= P33=0
P12=-P21=-v3=-c
P23=-P32=-v1=-a
P31=-P13=-v2=-b
因此 P=-B
N=P.U=-B.U
則 R 轉到 R'=cosθ R + sinθ N
=cosθ (I-A).U + sinθ N
則 U 轉到 U'=W+R'=A.U + cosθ (I-A).U - sinθ B.U
因此 Q = cosθ I + (1-cosθ) A - sinθ B
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