[中學] 98年高中數學競賽高屏區試題

看板Math作者 (cathy)時間14年前 (2011/09/13 21:27), 編輯推噓0(0014)
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在網路上有看到幾何的作法 想請教高手們代數做法如何求??? 謝謝 設函數f:(0,1) --> R 定義為 x ,x不屬於有理數 f(x)= (2p+1)/2q ,x=p/q (p,q)=1 0<p<q p,q皆為正整數 求f(x)在區間(1/3,3/7)上的最大值??? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 223.140.74.242

09/13 21:44, , 1F
f(2/5) = 1
09/13 21:44, 1F
※ 編輯: cathyky 來自: 223.142.52.159 (09/13 21:53)

09/13 21:54, , 2F
抱歉剛剛分母少一個2 答案是1/2沒錯
09/13 21:54, 2F

09/13 22:11, , 3F
幾何作法是?
09/13 22:11, 3F

09/13 22:27, , 4F
因為 f(x) = x for 無理數, f(x) > x for 有理數
09/13 22:27, 4F

09/13 22:28, , 5F
加上有理數的稠密性,顯然如果最大值存在,
09/13 22:28, 5F

09/13 22:29, , 6F
必然發生在有理數
09/13 22:29, 6F

09/13 22:30, , 7F
然後對有理數而言 f(x) = x + 1/2q
09/13 22:30, 7F

09/13 22:31, , 8F
這兩部分前面 x 越大值越大,後者 q 越小越大
09/13 22:31, 8F

09/13 22:32, , 9F
以此思維從 q = 3, 4, 5 , 7,開始列
09/13 22:32, 9F

09/13 22:33, , 10F
這些裡面只有 f(2/5) = 1/2
09/13 22:33, 10F

09/13 22:34, , 11F
而當 q > 7 時,f(x) = x + 1/2q < 3/7 + 1/14 = 1/2
09/13 22:34, 11F

09/13 22:34, , 12F
所以最大值發生在 f(2/5) = 1/2
09/13 22:34, 12F

09/14 20:06, , 13F
http://ppt.cc/_WIT 幾何解法
09/14 20:06, 13F

09/14 20:24, , 14F
我推的話就應了"老王賣瓜自賣自誇"
09/14 20:24, 14F
文章代碼(AID): #1ERrfSwI (Math)