[工數]微分方程的特徵方程式與階數

看板Math作者 (田中鬪莉王)時間14年前 (2011/08/19 01:34), 編輯推噓4(4推 0噓 21→)
留言25則, 3人參與, 最新討論串1/1
我在寫工數題目時，遇到下列一題: Q:有一個常係數齊次O.D.E.之一組解為: cosX * (X^3) 則此O.D.E.之最小階數為? 而他的答案是如下的: 特徵方程式為( (λ^2 ) + 1 )^4 = 0 ， 即 8 階。 我想問: 其實我在解齊次解時知道說: y" + y'- 2y = 0 的特性方程式(characteristic equation)會寫成 λ^2 + λ - 2 = 0 再下去求解，但是知其然不知其所以然... 為什麼能這樣代呢? 還有λ的意義?(還是說純粹是求解用的?) 另外則是cosX * X^3 為什麼可以化成( (λ^2 ) + 1 )^4 ? 還有階數是不是看λ的次方? 感謝板友們的幫忙Orz -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 122.117.20.246 ※ 編輯: tanaka0826 來自: 122.117.20.246 (08/19 01:39)
推
08/19 01:39, , 1F
有cosx 代表解釋 正負i n次重根的一般解是
08/19 01:39, 1F
→
08/19 01:39, , 2F
(c_1+c_2x+...+c_{n-1}x^{n-1})e^{ix}
08/19 01:39, 2F
→
08/19 01:40, , 3F
是
08/19 01:40, 3F
→
08/19 01:40, , 4F
所以至少是4次重根
08/19 01:40, 4F
→
08/19 01:40, , 5F
所以至少是4階ODE
08/19 01:40, 5F
→
08/19 01:43, , 6F
從哪裡能看出四次重根???
08/19 01:43, 6F
推
08/19 01:48, , 7F
從X^3 可看出它與前面的解線性相依所以須對原解作偏
08/19 01:48, 7F
→
08/19 01:48, , 8F
微分計算也就是補X
08/19 01:48, 8F
→
08/19 01:50, , 9F
所以意思是說X^4偏微會變X^3的關係?
08/19 01:50, 9F
→
08/19 01:52, , 10F
那麼( (λ^2 ) + 1 )^4 = 0 的意思是?
08/19 01:52, 10F
推
08/19 11:22, , 11F
第四行原來打錯是8接
08/19 11:22, 11F
→
08/19 11:22, , 12F
先從簡單的開始好了
08/19 11:22, 12F
→
08/19 11:22, , 13F
假設你的特徵多項式是(x-3)^2=0 那麼你的y_c將會是
08/19 11:22, 13F
→
08/19 11:23, , 14F
c_1*e^{3x}+c_2*xe^{3x}=(c_1+c_2x)e^{3x}
08/19 11:23, 14F
→
08/19 11:23, , 15F
這應該沒有問題吧@@
08/19 11:23, 15F
→
08/19 11:23, , 16F
那反過來 你要有xe^{3x}是不是至少要有(x-3)^2
08/19 11:23, 16F
→
08/19 11:24, , 17F
所以特徵多項是要被(x-3)^2整除 那最小的就是(x-3)^2
08/19 11:24, 17F
→
08/19 11:24, , 18F
所以只少是個二階ODE
08/19 11:24, 18F
→
08/19 11:24, , 19F
回到你的題目 你現在要生出cos{x}*x^3
08/19 11:24, 19F
→
08/19 11:25, , 20F
要生出cos{x} 特徵多項式必須是(x^2+1)
08/19 11:25, 20F
→
08/19 11:25, , 21F
要生出x^3必須要重根4次 所以特徵多項式要被
08/19 11:25, 21F
→
08/19 11:26, , 22F
(x^2+1)^4整除 所以至少是8階ODE
08/19 11:26, 22F
→
08/19 13:27, , 23F
感謝jacky7987的解釋 我看懂了
08/19 13:27, 23F
推
08/19 13:53, , 24F
剛好是我會的了拉..其他ODE PDE都不會(哀桑
08/19 13:53, 24F
→
08/19 14:59, , 25F
還沒學P.D.E.(遠目...連Laplace都還沒開始唸...
08/19 14:59, 25F
‣ 更多 tanaka0826 的文章
文章代碼(AID): #1EJKqydU (Math)