[機統] 一期望值問題
我大概翻譯一下題目
有一個訊號 defind by X(t)=Acos(wt+θ)
其中A為高斯(高斯分佈)隨機變數 E[A]=0 Var[A]=1 (with 0 mean and unit variance)
而θ為平均分佈在(0,2π)之隨機變數，w為非負整數，假設A和θ各自獨立，
求 E[X(t)]和 Var[X(t)]
我的想法
(1) E[X(t)]=E[Acos(wt+θ)]
=E[A] * E[cos(wt+θ) ....因A,θ各自獨立
=0
(2) Var[X(t)]=E[X(t)^2]-E[X(t)]^2
其中 E[X(t)^2]=E[A^2 * cos^2(wt+θ)]
=E[A^2] * E[cos^2(wt+θ)] 因A,θ獨立
其中 E[A^2]=Var[A] + E[A]^2
=0+1^2
=1
→ E[X(t)^2] = 1* E[1/2 + 1/2cos(2wt+2θ)]
=E[1/2] + 1/2*E[cos(2wt+2θ)]
=1/2 + 1/2*E[cos(2wt+2θ)] 算到這邊卡關
這個1/2*E[cos(2wt+2θ)怎麼算呢??
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推
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06/20 23:13, , 2F
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推
06/20 23:24, , 3F
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謝謝 我懂了 我把事情想的太複雜了 我這樣寫 能幫我看一下是否正確嗎??
2π
根據定義來看的話θpdf= 常數K ∫ K dθ= 1
0
fθ(θ)= 1/2π ; 0 <θ<2π
2π
根據定義 E[cos(2wt+2θ)]= 1/2π∫ cos(2wt+2θ) dθ
0
2π
積分得 1/2π*1/2*sin(2wt+2θ)|
0
1/4π*[sin(2wt+4π)-sin(2wt)] = 1/4π[sin(2wt)-sin(2wt)] =0
所以 E[X(t)^2]= 1/2 + 0 = 1/2
Var[X(t)]= 1/2 - 0 = 1/2
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