[機統] continuous expectations and variances

看板Math作者Justin258 (Justin)時間14年前 (2011/06/12 10:06)推噓1(1推 0噓 15→)

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定義出自 Saeed Ghahramani的機率課本 (閃電本) p.249 Theorem 6.2 For any continuous random variable X with probability distribution function F and density function f, ∞ ∞ E(X) = ∫ [1 - F(t)] dt － ∫ F(-t) dt. 0 0 Proof: Note that ∞ 0 ∞ E(X) = ∫ xf(x) dx = ∫ xf(x) dx + ∫ xf(x) dx -∞ -∞ 0 0 -x ∞ x = -∫ (∫ dt)f(x) dx + ∫ (∫ dt)f(x) dx equation(1) -∞ 0 0 0 ∞ -t ∞ ∞ = -∫ (∫ f(x)dx) dt + ∫ (∫ f(x)dx) dt equation(2) 0 -∞ 0 t where the last equality is obtained by changing the order of integration. The theorem follows since -t ∞ ∫ f(x) dx = F(-t) and ∫f(x) dx = P(X > t) = 1 - F(t). (Proved!) -∞ t 最後一行得證，是由 density function 的properties積分變成distribution的定義去得到，這樣理解不知道有沒有錯？主要想請問的是黃色的公式 -x x Q1 期望值的xf(x)為什麼兩個x要換成 ∫ dt, ∫ dt 呢？這個∫ dt 代表的意義是? 0 0 Q2 equation (1) 是怎麼轉換成 equation (2)的呢？ Q3 這邊的積分範圍 & t 所代表的分別是什麼呢？（自己的理解是，t為random variable X中某一點的位置，不過整個公式一起看覺得自己並無法將整個公式的意義解釋清楚）感謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.68.146

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ericabab

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ericabab

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※ 編輯: Justin258 來自: 140.113.68.146 (06/12 12:25)

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Justin258

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