[機統] 計算 E(1/Z) 和 variance
Let X1,X2,...,Xn denote a random sample of size n>2 from a distribution with
θ-1
pdf f(x:θ)=θx 0<x<1
n
Let Yi = -ln Xi Z= -Σ ln Xi
i=1
(1) 計算 E(1/Z) ( 答案是給θ/(n-1) )
2
(2) 計算 (n-1)/Z 的 variance ( 答案是給 θ /(n-2) )
-θ(y1+y2+...+yn)
n e
第一題我想說積 E(1/Z)=θ ∫-------------------- dy1dy2...dyn
-(y1+y2+...+yn)
想到兩種方法不知可不可以
-θ(y1+y2+...+yn)
e θ -(y1+y2+...+yn)v
第一種是 讓 -------------------- = ∫ e dv
-(y1+y2+...+yn) ∞
然後交換積分順序 感覺可以算出 不知道這樣算有沒有問題
第二種 令 u1 = y1+y2+...+yn , u2=y2 , u3=y3 , ... , un=yn
但是好像算不出來 這樣變換變數好像會碰到gamma函數的積分
可是答案沒有出現階乘 不知道錯在哪裡
也想請問另外有沒有其他更好的方法算出這個積分
第二題沒有什麼想法
希望有人可以幫忙 謝謝
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